Система уравнения

[Zarrie]

Здравейте,
имам въпрос по задачата -

При решаване се стига до система
[tex]u^{3} = 2-x[/tex]
[tex]v^{2} = x - 1[/tex]( Получава се от[tex]\sqrt{x-1} = v[/tex] )
Въпросът ми е не трябва ли
[tex]v^{2} = "|"x -1"|"[/tex] да е в модул, тъй като повдигаме корен на втора степен ?
Защото ако опитам да реша системата, в която получавам
[tex]v^{2} = 1-x[/tex]
х не се съкращава и получавам по-сложен израз?
Защо не се взема предвид, че e повдигната на втора степен лява ирационална страна, която трябва да бъде под знака на модул?
И ако може да ми подскажете какъв е метода за решаване на тези 2 задачи:

Няма нужда от решения, а само малка подсказка )
Искрени благодарности на ангажиралите вниманието си с мен!

[MENKA]

Задача 15

[MENKA]

Задача 1.

[Zarrie]

Не трябва ли да имаме модул, тъй като х - 1 е под корен - това ми е въпроса.

[Добромир Глухаров]

Преди всичко, щом имаш корен квадратен, трябва да намериш допустимите стойности за x. В този случай: [tex]x-1\ge 0[/tex] - подкоренната величина трябва да е неотрицателна. Тогава вече няма нужда от модул.

В тази задача бихме могли, макар че не е препоръчително, да изразим:

[tex]\sqrt{x-1}=1-\sqrt[3]{2-x}[/tex] (*)

и като повдигнем на квадрат:

[tex]x-1=\(1-\sqrt[3]{2-x}\)^2[/tex]

Оттук автоматично [tex]x-1\ge 0[/tex], понеже е равно на квадрат на някакво число, но трябва да запишем и решим неравенството: [tex]1-\sqrt[3]{2-x}\ge 0[/tex], понеже лявата страна е равна на корен квадратен от [tex]x-1[/tex] (виж (*)), която функция дава само неотрицателни стойности.

[Zarrie]

Благодаря Ви, Добромир. Тоест, тъй като заради корена имам изискването х > 1, където 1 > 0 => няма нужда да изследвам стойностите на неизвестното където модула приема отрицателна стойност - правилно ли съм разбрал ?
И ако имам изискване за х > -5 и за модула получа отр. стойност -4, то ще трябва да изследвам и двата случая, нали така ?

[Добромир Глухаров]

Благодаря Ви, Добромир. Тоест, тъй като заради корена имам изискването х > 1, където 1 > 0 => няма нужда да изследвам стойностите на неизвестното където модула приема отрицателна стойност - правилно ли съм разбрал ?
И ако имам изискване за х > -5 и за модула получа отр. стойност -4, то ще трябва да изследвам и двата случая, нали така ?

Ужас! Модулът не може да приеме отрицателна стойност, понеже по дефиниция е неотрицателен. Изразът, който си записал в модулните скоби, му поставяме условие да е неотрицателен, понеже в даденото уравнение от него се извлича корен квадратен, а това може да стане само от неотрицателно число. Нека се абстрахираме от всякакви модули. Когато имаме уравнение [tex]\sqrt{f(x)}=g(x)[/tex], то е еквивалентно на системата: [tex]\begin{array}{|c}f(x)=\(g(x)\)^2\\ g(x)\ge 0\end{array}[/tex]

[Zarrie]

Явно съм омесил всичко. Мислех за
[tex]\sqrt{(x-1)^{2}} = 5 \Rightarrow x - 1 = 5 \cup x - 1 = -5[/tex]
и правех някаква аналогия.
Мисля, че осъзнавам къде са пропуските ми и все пак бих бил благодарен, ако ми кажете какво да прочета (теория) за да запълня празнотите.

[MENKA]

Явно съм омесил всичко. Мислех за
[tex]\sqrt{(x-1)^{2}} = 5 \Rightarrow x - 1 = 5 \cup x - 1 = -5[/tex]
и правех някаква аналогия.
Мисля, че осъзнавам къде са пропуските ми и все пак бих бил благодарен, ако ми кажете какво да прочета (теория) за да запълня празнотите.

Тъй като 5>0,затова модулът е само положителен
Ако (√х-2)на квадрат=5-х,то тогава имаме дясна страна 5-х,което може и да е по<0 и по>0.
Особено при ирационалните неравенства трябва да се следят знаците.

[Zarrie]

Тоест в примера, който съм дал няма нужда от второто уравнение, така ли?

[MENKA]

Тоест в примера, който съм дал няма нужда от второто уравнение, така ли?

В случая няма нужда от отрицателното

[grav]

Има нужда и от второто уравнение. Провери директно, че то ти дава решение х=-4.

[Zarrie]

grav, тоест независимо дали отдясно имам положителна константа или не, винаги имам 2 уравнения, както твърдях по-рано, така ли?

[MENKA]

Зависи от конкретната задача какви ще са ограниченията.Тук при вас щом квадратния корен е на втора степен,това означава,че дали <0 или >0qрезултатът е положителен.

[grav]

MENKA, в последният му пример квадрата е под корена. Така като си го написала -4 не е решение!

[MENKA]

MENKA, в последният му пример квадрата е под корена. Така като си го написала -4 не е решение!

Разбирай го -под корена.

[MENKA]

MENKA, в последният му пример квадрата е под корена. Така като си го написала -4 не е решение!

Разбирай го -под корена.

Много минуси,много нещо-

[monika_at]

Защото пишеш безобразно, драскаш, и после неглиже има само едно: "Разбирай го под корена"
Е, след като квадрата ясно е написан извън корена, нямам как да го разбираме под.
Ти самата в много постове си казвала, че за еди какво си във ФМИ биха писали 2. Както за прословутата ОБРАТНА ТЕОРЕМА.
Човек може и да сбърка, всеки от нас бърка, но......
Защо не се научиш да пишеш на LaTeX?
Никак не е сложно. Напротив, много по-прегледно е.
Хубавото издържано и прегледно решение показва учтивост към питащия.

[kmitov]

Защото пишеш безобразно, драскаш, и после неглиже има само едно: "Разбирай го под корена"
Е, след като квадрата ясно е написан извън корена, нямам как да го разбираме под.
Ти самата в много постове си казвала, че за еди какво си във ФМИ биха писали 2. Както за прословутата ОБРАТНА ТЕОРЕМА.
Човек може и да сбърка, всеки от нас бърка, но......
Защо не се научиш да пишеш на LaTeX?
Никак не е сложно. Напротив, много по-прегледно е.
Хубавото издържано и прегледно решение показва учтивост към питащия.

monika_at ти освен във форума къде си виждала Latex? Можеш ли да посочиш един редактор, с който се пише на Latex, та си тръгнала да даваш акъл?

[math10.com]

Аз лично мога да ти посоча няколко.
А и след като във форума може да се пише на LaTeX и някой потребител иска да пише във форума, то е редно да го ползва.Ако не му се занимава да се образова защо си губи времето в този форум?И аз имах период на седмица да се науча , а и ти Митов го ползваш.LaTeX позволява приличен математически запис и е добър вариант за подобен форум.Защо да оправдаваме "МЕНКА" която не полага усилие да се научи?

[MENKA]

Аз лично мога да ти посоча няколко.
А и след като във форума може да се пише на LaTeX и някой потребител иска да пише във форума, то е редно да го ползва.Ако не му се занимава да се образова защо си губи времето в този форум?И аз имах период на седмица да се науча , а и ти Митов го ползваш.LaTeX позволява приличен математически запис и е добър вариант за подобен форум.Защо да оправдаваме "МЕНКА" която не полага усилие да се научи?

1.Изобщо не е удобна тази програма,която пишете.
2.Не позволява да се правят чертежи.
3.Всеки има право да си напише мнението така,както пожелае.
4.Всеки има право и да не чете мнението всекиму.
5.Математиката е точна наука-или верен,или неверен отговор.
6.Как е решена задачата,няма значение.Въпросът е да бъде вярно решена.
7.Не е важно да си знаещ,а е важно другият срещу теб да те разбере.От Вас специално се прилагат методи,които изобщо не са разбираеми за средния ученик.Напр. за решение на полиноми и т.н. -евклидово пространство.Абсолютни глупости.
Приятен ден Ви желая!

[kmitov]

Не ли най-добре да се постъпи така за уравнението [tex]\sqrt[3]{2-x}=1-\sqrt{x-1}[/tex]?

Полагаме [tex]2-x=u^3, x-1=v^2[/tex], получаваме системата [tex]\left|\begin{array}{l} 2-x=u^3\\ x-1=v^2 \\ u=1-v \end{array} \right.[/tex] и от нея намираме системата [tex]\left|\begin{array}{l}u^3+v^2=1 \\ v=1-u \end{array} \right.[/tex]

Така се получава [tex]u^3+u^2-2u+1=1[/tex] или [tex]u(u^2+u-2)=0[/tex] и за [tex]u[/tex] намираме [tex]u=0, u=1, u=-2[/tex] откъдето за [tex]x[/tex] сер получават [tex]2-x=0^3 \Rightarrow x=2; 2-x=1^3 \Rightarrow x=1; 2-x=-8 \Rightarrow x=10[/tex].

С непосредствена проверка се установява, че и трите са решения.
[tex]\sqrt[3]{2-2}=1-\sqrt{2-1}[/tex], т.е. 0=0

[tex]\sqrt[3]{2-1}=1-\sqrt{1-1}[/tex], т.е. 1=1

[tex]\sqrt[3]{2-10}=1-\sqrt{10-1}[/tex], т.е. -2=-2,

следователно и трите са решения.

[MENKA]

Не ли най-добре да се постъпи така за уравнението [tex]\sqrt[3]{2-x}=1-\sqrt{x-1}[/tex]?

Полагаме [tex]2-x=u^3, x-1=v^2[/tex], получаваме системата [tex]\left|\begin{array}{l} 2-x=u^3\\ x-1=v^2 \\ u=1-v \end{array} \right.[/tex] и от нея намираме системата [tex]\left|\begin{array}{l}u^3+v^2=1 \\ v=1-u \end{array} \right.[/tex]

Така се получава [tex]u^3+u^2-2u+1=1[/tex] или [tex]u(u^2+u-2)=0[/tex] и за [tex]u[/tex] намираме [tex]u=0, u=1, u=-2[/tex] откъдето за [tex]x[/tex] сер получават [tex]2-x=0^3 \Rightarrow x=2; 2-x=1^3 \Rightarrow x=1; 2-x=-8 \Rightarrow x=10[/tex].

С непосредствена проверка се установява, че и трите са решения.
[tex]\sqrt[3]{2-2}=1-\sqrt{2-1}[/tex], т.е. 0=0

[tex]\sqrt[3]{2-1}=1-\sqrt{1-1}[/tex], т.е. 1=1

[tex]\sqrt[3]{2-10}=1-\sqrt{10-1}[/tex], т.е. -2=-2,

следователно и трите са решения.

Абсолютно съм съгласна със Вашето решение,след като получавате отговорите.Все пак няма стандартен начин за решаване на кето и да е уравнение.

[Knowledge Greedy]

В повечето случаи се въздържам от критики, но и тук ще си дам критичното мнение.

... Защо да оправдаваме "МЕНКА" която не полага усилие да се научи?

1.Изобщо не е удобна тази програма,която пишете.
2.Не позволява да се правят чертежи.
3.Всеки има право да си напише мнението така,както пожелае.
4.Всеки има право и да не чете мнението всекиму.
5.Математиката е точна наука-или верен,или неверен отговор.
6.Как е решена задачата,няма значение.Въпросът е ...
7.Не е важно да си знаещ ...
Приятен ден Ви желая!

По точки.
1. Владеенето в някаква степен на редактори на научен текст е в плюсовете на всяка съвременна образователна програма, необходим инструмент на студент, учител, научен работник.
Освен въпросната LaTeX има и други, но няма кой да учи. Тук напълно подкрепям math10.com

... Защо да оправдаваме ..., която не полага усилие да се научи?

2. Освен въпросната LaTeX има и други с графична насоченост, съвместими със средата в която работим.
... Но и тях някой трябва да учи!
3. С добавката - да се спазва добрия тон и етикет.
По точка 4 - да, Демокрацията повелява.
5. Тук съм просто предизвикан да отправя Молба към написалия точка 5, да спазва това което е написал и да намали брака поне наполовина ( за това в същност си губим времето да критикуваме).
6. Написалият 6 не е предполагал, че ще напише и 7; което 6 крещящо противоречи на 7. Иначе е добре.
7. Аз претендирам да съм (много)знаещ и се чувствам лично засегнат. Когато си знаещ, знаеш с какъв човек си имаш работа и му предлагаш такава гледна точка, че поне малко да те разбере. Когато насочваш писането си към друга група читатели, сменяш нивото, стила, подробностите, терминологията. Това само знаещият може да си позволи.

И накрая. Все пак MENKA с бързата си реакция е много полезна за сайта, след като има и читатели. Но нека положи повечко усилия, за да не ставаме за смях като политическа (не дотам компетентна) говорилня.

[MENKA]

Сега ще си призная без бой.На практика не съм със педагогическо математическо образование.Не знам дори и наименованията на програмите,които ползувате за решения на задачите,къде ли чертежите.Задачите ги решавам набързичко през работно време,сканирам ги и ги изпращам.Открих този сайт часове преди да се регистрирам.Затова и нямам време да "проучвам" LaTex-a.Взела съм си нов компютър и скоро ще инсталирам всичко,което е необходимо.Във ФМИ учех,но предпочетох да отида в чужбина преди години.След това вече бях загубила студентски права,пък и професионалните ми интереси са съвсем други,но близки до математиката,която в работата ми е необходима във всеки един момент.Искам да ви попитам специално за чертежите-коя програма се ползува?