Изследване знака на модула

[Zarrie]

Здравейте, докато решавах задачата

asdasd.jpg (5.85 KiB) Прегледано 1177 пъти

След като веднъж разпаднах на два случая заради
[tex]\left|3^{x+2}-1 \right|[/tex]
после разпадам на още два случая заради модула в степенните показател на
[tex]3^{\left|x+3\right|}[/tex] ,но забелязах, че ако не поставя ограничение, интервалите стават по-големи от нужното и тогава се сетих за метода на подинтервалите и това как в зависимост от знака на модула сме в даден интервал спрямо числото, което го анулира. Мислех, че това се съобразява когато се решава модулно уравнение с повече от едни модула.
Да вземем примера
[tex]\left|x\right| > x - 2[/tex]
Имаме ДС х - 2 > 0 ; х > 2
След като разпаднем на два случая въпросът е
[tex]x > x - 2[/tex] трябва ли полученият отг. за х да принадлежи на интервала [0;∞)
[tex]x < 2 - x[/tex] съответно от (-∞;0)

[math10.com]

.............
Да вземем примера
[tex]\left|x\right| > x - 2[/tex]
Имаме ДС х - 2 > 0 ; х > 2
След като разпаднем на два случая въпросът е
[tex]x > x - 2[/tex] трябва ли полученият отг. за х да принадлежи на интервала [0;∞)
[tex]x < 2 - x[/tex] съответно от (-∞;0)

Нещо или не си разбрал в училище или просто лошо са те научили:
[tex]|x| \ge 0[/tex] , за всяко [tex]x\in R[/tex]
Ако имаш неравенства от вида :[tex]|x|>ax+b[/tex] тук нямаме ДС.Трябва да разгледаш 2 случая:
1случай: [tex]ax+b\le 0[/tex] , като получения интервал след изчисленията ще е решение на неравенството
2 случай: [tex]ax+b>0[/tex] , което решаваш или повдигайки на квадрат и двете страни или рзглеждайки 2 подслучая ,за да премахнеш модула.
След това обединяваш получените решения от 1 случай и 2 случай
Ако имаш неравенства от вида :[tex]|x|\le ax+b[/tex] тук вече имаме ДС [tex]ax+b\ge 0[/tex].
И сега вече премахваш модула разглеждайки 2 случая като за решение ще имаш сечението на получените интервали с интервала от ДС.

[Zarrie]

Благодаря!
Да разбирам,че когато имаме два или повече модула, у-то или н-вото се решава с метод на подинтервалите, а когато имаме един модул се съобразявам с посоката на н-вото и разглеждам два случая или ако е у-е директно разглеждам два случая?

[Zarrie]

[tex]\left|x\right|^{x^{2} + 2.5x -1.5} < 1[/tex]
следват 2 случая, нали така ? Тъй като 1 > 0 няма Д.С. =>
[tex]x^{x^{2} +2.5x - 1.5 < 1[/tex]
[tex]2x^{2} + 5x -3 < 0[/tex](При условие че х > 1)
Получават се решения
[tex]x_{1} = -3
x_{2} = 0.5[/tex]
не се получават решения за х
[tex]2x^{2} + 5x -3> 0[/tex] При условие че 0<х<1
Получава се, че
[tex]x \in (0.5;1)[/tex]
Сега 2рия случай в който имаме
[tex]x^{x^{2} +2.5x - 1.5 > -1[/tex]
Което е задънена улица за мен?! Не знам -1 да може да се представи като степен на реално число. Друго, което ме притеснява е как в отг. фигурира освен интервала, който аз съм получил и интервала от -3 до -1, което са стойности за х а х по дефиниция на показателно у-е или н-во трябва да е положителна константа(число)

asdasd.jpg (10.26 KiB) Прегледано 1162 пъти

[math10.com]

Това последното което си писал не можах да го разбера.Неравенствата от вида:

[tex]|x|^{f(x)}<1[/tex] имат решение:

[tex]\begin{tabular}{|l}|x|<1\\f(x)> 0 \end{tabular}\cup \begin{tabular}{|l}|x|>1\\f(x)< 0 \end{tabular}[/tex]

[Zarrie]

Разбирам. Това последното което съм го написал е вторият случай, на който се разпада модулно неравенство или уравнение, защото не знаех как се решава и предположих, че трябва веднъж да се разгледа като стандартно модулно и веднъж като показателно. Т.е. веднъж да запиша двата случая, които се разглеждат в модулното и веднъж да разгледам спрямо х>1 и 0<х<1 - усложнил съм го повече от нужното. Благодаря много!

[Zarrie]

За Бога, отново се връщам на темата, явно съм плиткоумен, но в задачата на СУ срещнах точно това, за което питах тогава -

123.jpg (70.5 KiB) Прегледано 1138 пъти

Сега вече съм тотално объркан ?

[amsara]

[tex]/x^2-5x-6/=4x-14[/tex]
[tex]DM: 4x-14 \ge 0 => x \ge 3,5[/tex]
1.
[tex]x^2-5x-6=4x-14 <=> x^2-9x+8=0[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2 }[/tex]
[tex]x_{1}=8 \in DM[/tex]
[tex]x_{2}=1\notin DM[/tex]

2.
[tex]x^2-5x-6=14-4x[/tex]
[tex]x^2-x-20=0[/tex]
[tex]x_{3,4}=\frac{1\pm9 }{2 }[/tex]
[tex]x_{3}=5 \in DM[/tex]
[tex]x_{4}=-4 \notin DM[/tex]



=> [tex]x=8; x=5[/tex]

Задачата може да се реши и с метода на подинтервалите.
Ако искаш, кажи и ще напиша и него.

[pal702004]

Това, което си отбелязал като ДМ не е вярно. ДМ е стойностите на аргумента, в които функцията/функциите са определени. Всичко си е определено и при [tex]x<3.5[/tex], друг в въпросът, че там не може да има решения на уравнението. Тоест, това, което си написал: [tex]x\ge 3.5[/tex] е част от решението на уравнението, но не е ДМ. По-внимателно с термините.

[monika_at]

[tex]/x^2-5x-6/=4x-14[/tex]
[tex]DM: 4x-14 \ge 0 => x \ge 3,5[/tex]
1.
[tex]x^2-5x-6=4x-14 <=> x^2-9x+8=0[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2 }[/tex]
[tex]x_{1}=8 \in DM[/tex]
[tex]x_{2}=1\notin DM[/tex]

2.
[tex]x^2-5x-6=14-4x[/tex]
[tex]x^2-x-20=0[/tex]
[tex]x_{3,4}=\frac{1\pm9 }{2 }[/tex]
[tex]x_{3}=5 \in DM[/tex]
[tex]x_{4}=-4 \notin DM[/tex]



=> [tex]x=8; x=5[/tex]

Задачата може да се реши и с метода на подинтервалите.
Ако искаш, кажи и ще напиша и него.

Сара, това ДМ, което си определила, не е читаво. То даже не и ДМ.
Ако имаш н-то:
[tex]|u|>a[/tex], имаш два случая:
1) ако [tex]a<0=>[/tex] при тези значения, н-то винаги е изпълнено
2)[tex]a\ge 0=>u<-a\cup u>a[/tex]

После обединяваме двата случая.

[amsara]

ОК, благодаря и на двама ви.
Аз осмислих къде е нечитавата част. Истината е, че първия път си го реших с метода на интервалите и пак получих тези отговори. Но заради повечето писане при него, пуснах този кратък вариант, който съм срещала като пример тук:

http://www.solemabg.com/SamModUN2.htm
зад.2

[Zarrie]

Благодаря на Сара, но метода на подинтервалите го разбирам и честно казано на изпита си бих предпочел да работя с него, защото поне съм сигурен, но защо модулното уравнение да няма ДС ? Как така |u| = -5 ? Това, че функцията в модула може да приема отрицателни стойности или с др. думи |-5| = 5 и да е решение не значи че трябва да няма ДС?
В крайна сметка модула няма как да е равен на отрицателно число ? Не разбирам защо да не са верни ДС на Сара ?

[Zarrie]

Pal, за x< 3,5 функцията приема стойност от сорта на : Пр.
|x| = -a което не е дефинирано ?
За протокола, не споря, а се опитвам да си усвоя материята, което сайтове като re6avam и т.н. старателно са ми объркали...

[monika_at]

Зари, хайде да изясним първо, какво е модул.
Най-простичко. Модулът на едно число е разстоянието от образа на числото върху числовата ос, до образа на 0.
Например: -2 и 2 имат един и същи модул, защото са на равни разстояния до 0. Знакът на числото просто показва от коя страна на 0 е- отляво или отдясно
Нека сега разгледаме неравенството [tex]|x|<2[/tex]
Значи търсим всички числа, които се намират на разстояние по-малко от 2 единици. Тогава те ще са
[tex]x>-2\cap x<2[/tex], т.е., заключени в ивицата [tex]x\in (-2; 2)[/tex]

Обратно, ако искаме да решим н-то [tex]|x|>2[/tex], търсим всички числа, които са отдалечени от 0 на разстояние, по-голямо от 2.
Тук имаме две възможности: [tex]x<-2\cup x>2=>x\in (-\infty ; 2)\cup (2; +\infty )[/tex]

Нека сега имаме [tex]|x|>-2[/tex] Всяко разстояние е неотрицателно=> решение е всяко х
[tex]|x|<-2[/tex]=>няма решение
[tex]|x|>0=>x\in (-\infty ; 0)\cup (0; +\infty )[/tex] и т.н...

нека сега имаме
[tex]|x|>x-2[/tex]
1)[tex]x-2<0=>x<2=>[/tex]неравенството е изпълнено за всяко значение на х, по-малко от 2
2) [tex]x-2\ge 0=>x\ge 2=>x<-x+2\cup x>x-2[/tex]

Какво е окончателното решение?

[Zarrie]

всяко х с изключение на 2 ?

[amsara]

Госпожо,нещо се оплетох. Това, което описвате, касае модулни неравенства, ама в случая говорим за модулно уравнение. Тоест поне аз разбирам въпроса на Зари по друг начин. Щом е модулно уравнение, непременно дясната му част следва да е неотрицателна. Как да запишем тогава ограниченията за х, произлизащи от това? ОК, не е ДМ, какво е? Решението с метода на подинтервалите е ясно явно и на двама ни, затова и него не го коментирам. Но да предположим, че решаваме на принципа, познат на един седмокласник. Hе следва ли точно да разгледаме страната без модул и да намерим онези стойностu на х, при които изразът е неотрицателен? И едва тогава да разгледаме двата случая като се съобразим с получения за х интервал.Дано стана ясно какво питам.

[Zarrie]

asdasd.jpg (18.99 KiB) Прегледано 1124 пъти

Съжалявам, че не си усвоявам материята, но съвсем обективно мога да кажа, че или тези хора грам не могат да обясняват или аз хич не възприемам

[monika_at]

Госпожо,нещо се оплетох. Това, което описвате, касае модулни неравенства, ама в случая говорим за модулно уравнение. Тоест поне аз разбирам въпроса на Зари по друг начин. Щом е модулно уравнение, непременно дясната му част следва да е неотрицателна. Как да запишем тогава ограниченията за х, произлизащи от това? ОК, не е ДМ, какво е? Решението с метода на подинтервалите е ясно явно и на двама ни, затова и него не го коментирам. Но да предположим, че решаваме на принципа, познат на един седмокласник. Hе следва ли точно да разгледаме страната без модул и да намерим онези стойностu на х, при които изразът е неотрицателен? И едва тогава да разгледаме двата случая като се съобразим с получения за х интервал.Дано стана ясно какво питам.

Сара, аз ви оплетох Точно така. Нещо се обърках, че решаваме неравенство.

[monika_at]

asdasd.jpg

Съжалявам, че не си усвоявам материята, но съвсем обективно мога да кажа, че или тези хора грам не могат да обясняват или аз хич не възприемам

Всичко е наред с дефиницията. Казваме, че модулът на едно число е самото число, ако то е неотрицателно и модулът на едно число е неговото противоположно, ако числото е отрицателно.
Тогава, ако х<0, неговото противоположно е -х=>-х>0=>|x|=-x.

[math10.com]

А може ли и аз да задам един въпрос?
Ако просто използваме израза ДС ("Допустими стойности") няма ли да спестим неточния изказ?Защото ако [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] и [tex]|f(x)|=x[/tex], то [tex]f(x)[/tex] е двфинирана за всяко реално [tex]x[/tex] ,но допустимите(възможните) стойности за [tex]x[/tex] са само неотрицателните.

И още една отметка относно неточния изказ.Какво би било според Вас "Дефиниционното множество" на:
[tex]\sqrt{x-8}[/tex]
Според мен на така зададената задача е трудно да се каже

[amsara]

math10, aз точно тази част от решението ми разбрах, че се счита за нечитава заради неправилната формулировка. Тоест неуместно е ползвано понятието ДМ. Разбирам, че ДМ е множеството от стойности на х, при които функцията е дефинирана (при които изразът може да бъде пресметнат). Ама тогава защо на толкова места на ДМ и ДС се гледа като на едно и също нещо?

Определено заради модула в ляво трябва да поставим ограничения за х -такива, че да си гарантираме, че дясната страна е неотрицателна . Та пак си задавам въпроса. Полученият интервал [tex]x \in[3,5; +\infty)[/tex]как следва да бъде назован?

[monika_at]

Сара, според мен би трябвало да се нарече смислова област. За да има смисъл задачата (уравнението), дясната страна трябва да е неотрицателна.
Иначе ДМ (ДС) е нещо друго.

[pal702004]

Сара, не съм казал, че решението ти е нечитаво - то е вярно, просто не е точен терминът, който си употребила. Не мисля че някой би намалил оценка заради това - трябва да е най-големият педант. Но все пак...
Както казах, това си е част от решението на задачата и не мисля, че трябва да му се измисля специален термин.
Решението ти е еквивалентно на повдигане на квадрат и разлагането на множители на раликата на квадратите. С предварителна проверка с цел отсяване на излишните корени. Често използван прийом, не се сещам за специален термин.

[inveidar]

Сара, според мен би трябвало да се нарече смислова област. За да има смисъл задачата (уравнението), дясната страна трябва да е неотрицателна.
Иначе ДМ (ДС) е нещо друго.

Не съм съгласен. Уравнение няма смисъл, когато не можем да извършим означените действия. Точно така намираме ДМ-то. Това допълнително условие за дясната страна е просто необходимо условие уравнението да има решение. Ако не е изпълнено, примерно [tex]|x^2-x+1|= -x^2-3x-3[/tex], то уравнението няма решение, което означава, че сме си решили задачата. Да се реши уравнение какво означаваше? Да се намерят решенията (корените), или да се докаже, че няма такива. А задачата си има смисъл (тази, която написах аз). Нали?

[monika_at]

Сара, според мен би трябвало да се нарече смислова област. За да има смисъл задачата (уравнението), дясната страна трябва да е неотрицателна.
Иначе ДМ (ДС) е нещо друго.

Не съм съгласен. Уравнение няма смисъл, когато не можем да извършим означените действия. Точно така намираме ДМ-то. Това допълнително условие за дясната страна е просто необходимо условие уравнението да има решение. Ако не е изпълнено, примерно [tex]|x^2-x+1|= -x^2-3x-3[/tex], то уравнението няма решение, което означава, че сме си решили задачата. Да се реши уравнение какво означаваше? Да се намерят решенията (корените), или да се докаже, че няма такива. А задачата си има смисъл (тази, която написах аз). Нали?

Ок, съгласна съм. Би ли ми дефинирал ДМ на уравнение? Има ли такова понятие? Аз не се заяждам, признавам си, че с тези понятия ДО, СО, се омотавам като пате.
Според мен, е много по-важно да се отчетат като част от решението на задача, отколкото да се прецизират като понятия.