/ на 24

[4okoboko]

Ако p и q са прости числа, по-големи от 3, да се докаже, че числото 7.p.p - 5.q.q - 2 се дели на 24. Не искам да ми решавате задачата, а само подсказка. Така 7.p.p - 5.q.q - 2 трябва първо да се разложи на множители, за да проверим дали се дели на 3 и 8.Но целта е p и q да не са на едно и също място, примерно 2(p-1)(p+1) + 5(p-q)(p+q), сега p-q и p+q са на едно и също място и може да се получи, че и двата израза не се делят на 24, но всъщност сборът им да се дели, примерно 13 не се дели на 24, 11 не се дели на 24, но 13+11 се дели на 24. Затова представих -2 като 5 - 7 и се получава 7(p-1)(p+1) - 5(q-1)(q+1) .Така, щом p и q са прости числа, следователно те са и нечетни, защото ако е четно, то ще се дели на 2. Щом са нечетни, значи p-1 ; p+1 ; q-1 ; q+1 са четни, а ако са четни то произведението на 2 последователни четни числа се дели на 8, защото ако p-1= 2k то (p-1)(p+1) e 2k(2k+2)=4.k.k + 4k = 4.k(k+1), очевидно се дели и на 4, но се дели и на още 2, защото имаме 2 последователни числа и винаги 1-то от тях ще е четно.Това е ясно, knowledge greedy го обясни във миналия пост, където трябваше да се докаже за 120. Така, остава деление на 3. За да се дели на 3 дадено число, то трябва да може да се изрази като 3k, а всички останали числа, които не се делят на 3 са 3k+1 и 3k+2.Така, ако p=3k+2, p+1 ще е равно на 3k+3, което се дели на 3, а ако p=3k+1, то p-1 ще е равно на 3k, което се дели на 3. Остана p=3k, но всъщност p не може да е 3k, защото тогава няма да е просто число. И щом се дели на 3 и на 8, то се дели на 24.Същата логика ползваме и за q. Тази задача е била на олимпиада на национален кръг по мат. 2009. И не искам подсказка, просто исках да видите как супер яко я реших САМИЧЪК

[inveidar]

Ти 7-ми клас ли си?

[4okoboko]

за 10-ти, ама сега се зарибих по математика от сайта. Можеше и това да го знам в 7-ми клас, и аз се ядосвам, но грешката ми беше че слушах учителите, те ти дават един и същи вид скучни задачи, правят ти предмета безинтересен, казват ти, че просто трябва да научиш наизуст метода и че друг начин няма и ти дават сухи формули, които да ги ползваш. А всъщност разбрах, че ако решиш правилните задачи и осмислиш формулите, което означава да знаеш как да докажеш теореми, да можеш да си изведеш всички формули, които ползваш и т.н., които на пръв поглед няма никаква полза да ги учиш са най-важните неща и че мога да реша абсолютно всяка задача без да я наизустявам, просто защото преди това правилно съм си обяснил смисъла на дадената тема.80% от учителите просто не са за учители, нямат подхода, ама и те не са виновни, какво да правят хората, едвам се намира работа ....