Множество от стойности

[Добромир Глухаров]

Без да се използват методите на математическия анализ, да се намери множеството от стойности на функцията: [tex]f(x)=\frac{7x}{1+49x^2};\ x\in\mathbb{R}[/tex]

[monika_at]

Ако х=0, то дробта е 0. Нека х не е 0. Тогава разделяме числителя и знаменателя на [tex]7x[/tex]=>

[tex]\frac{1}{ \frac{1}{7x } +7x}[/tex]. От неравенството на Коши =>

1)[tex]x<0=>\frac{1}{ 7x} +7x\le -2=>\frac{1}{ \frac{1}{7x } +7x}\ge -\frac{1}{ 2}[/tex]

2)[tex]x>0=>\frac{1}{ 7x} +7x\ge 2=>\frac{1}{ \frac{1}{7x } +7x}\le \frac{1}{ 2}[/tex]=>

[tex]-\frac{1}{ 2}\le \frac{7x}{ 1+49x^2} \le \frac{1}{ 2}[/tex]

[monika_at]

2 начин. Нека положим [tex]\frac{7x}{1+49x^2 } =p\Rightarrow 49px^2-7x+p=0[/tex]

За да име решение това уравнение, трябва [tex]D\ge 0\Rightarrow 49-4.4pp^2\ge 0\Rightarrow p\in [-\frac{1}{2 } ; \frac{1}{2 } ][/tex]

[Knowledge Greedy]

И в двете решения трябва да се посочи и обратното - че всяка от стойностите, приписвани на функцията, е достижима.
И докато в първото решение някак се подразбира (заради неравенството СА-СГ), то във второто е добре поне да споменем - "И обратно, [tex]\forall y\in \left [-\frac{1}{ 2}; \frac{1}{ 2} \right ][/tex] съществува реално [tex]x[/tex] такова, че
[tex]y= \frac{7x}{ 1+49x^2} ."[/tex]

[monika_at]

Точно така