Уравнение с параметър

[mandarinka]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а , за които уравнението. ax^2 + x + a - 1 = 0
има два различни реални корена и x_{1} и x_{2} такива че | 1/x_{1} - 1/x_{2} | > 1

[math10.com]

[tex]|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|=|\frac{x_2-x_1}{x_1.x_2}|>1 \Leftrightarrow \frac{(x_2-x_1)^2}{(x_1.x_2)^2}>1 \Rightarrow \frac{(x_2+x_1)^2-4x_1.x_2}{(x_1.x_2)^2}>1[/tex]

Решаваш системата и си готов:

[tex]\begin{tabular}{|l}a\ne 0\\D=1-4a(a-1)=-4a^2+4a+1>0 \Rightarrow a\in (\frac{1-\sqrt{2}}{2};\frac{1+\sqrt{2}}{2})\\\frac{(x_2+x_1)^2-4x_1.x_2}{(x_1.x_2)^2}>1 \Rightarrow \frac{(-\frac{1}{a})^2-\frac{4(a-1)}{a}}{(\frac{a-1}{a})^2}>1\Rightarrow \frac{1-4a^2+4a}{a^2}.\frac{a^2}{(a-1)^2}>1\Rightarrow \frac{-5a^2+6a}{(a-1)^2}>0 \Rightarrow a\in (0;1)\cup(1;\frac{6}{5})\end{tabular}[/tex]