1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + 6^5 + 7^5 + 8^5 се дели на 6

[scaredl]

Здравейте! Много ще съм благодарен ако ми помогнете с една задача:
трябва да докажа, че [tex]1^{5} + 2^{5} + 3^{5} + 4^{5} + 5^{5} + 6^{5} + 7^{5} + 8^{5}[/tex] се дели на 6.
Благодаря предварително!

[Добромир Глухаров]

Провери, че за $k=1,2,3,4,5\Rightarrow k^5$ дава остатък $k$ при делене на $6$. $6^5$ дава остатък $0$, а $7^5$ и $8^5$ - отново остатък $1$ и $2$. Като съберем тези $8$ остатъка, получаваме $1+2+3+4+5+1+2=15+3=18$ - кратно на $6$.

[ptj]

a^(2n+1)+b^(2n+1) се разлага с множител a+b.
Тогава ако групираш първо събираемо с последно, второ предпоследно и т.н. ще получиш 4 суми , всяка от които се дели на 9.
Освен това в условието имаш 4 четни и 4 нечтни събиреми, сл. Общата им сума се дели на 2.
Получихме, че общата сума се дели на 2.9=18.