Геометрия за 8-ми клас.

[namelessgem]

Точките K, M, N и L са съответно среди на страните AB,BC,CD,DA на успоредника ABCD. Нека P= AM[tex]\cap[/tex]CK и Q = AN[tex]\cap[/tex]CL. Докажете,че точките B, P, Q и D лежат на една права.

[Knowledge Greedy]

Да построим втория диагонал на успоредника.

Четири точки на една права.png (5.52 KiB) Прегледано 460 пъти

Нека общата точка на двата диагонала е точка [tex]O[/tex].
Знаем, че тя е тяхна обща среда. Всяка от отсечките [tex]CK, AM[/tex] и [tex]BO[/tex] представлява медиана за триъгълника [tex]\Delta ABC[/tex]. Те се пресичат в една точка - медицентъра на триъгълника. Но [tex]AM \cap CK =P[/tex] Ето защо [tex]P\in BO[/tex] - третата медиана, а тя е половина част от целия диагонал [tex]BD[/tex]. Следователно [tex]P\in BD[/tex].
Аналогично доказваме, че [tex]Q\in BD[/tex].