За кои стойности $х^2+2х+4-n^2=0$ - n параметър $x_1-x_2=6$

[iliann]

При решаване на кавадратно уравнение,кое решение се взима за х1?
Ето при тази задача се получават различни отговори според това кое ще взема за х1-
За кои стойности на реалния параметър n корените х1,х2 на уравнението х(квадрат)+2х+4-n(квадрат)=0 удовлетворяват условието
х1-х2=6?

[Davids]

Подобни типове задачи се решават най-бързо и най-лесно с помощта на формулите на Виет:
[tex]\begin{array}{|l} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ x_1x_2 = \frac{c}{a} \end{array}[/tex]
Както виждаш, при тях няма значение кой от двата корена като какъв ще го означиш, тъй като системата е от симетрични уравнения. (т.е., ако размениш местата на променливите, стойността се запазва същата).
Следователно просто прибавяш даденото към системата, заместваш и решаваш с който корен ти хареса да е първи и втори:
[tex]\begin{array}{|l} x_1 = x_2 + 6 \\ x_1 + x_2 = -2 \\ x_1x_2 = 4-n \end{array}[/tex]
Заместваш първото във второто:
[tex]\Rightarrow 2x_2 = -8 \Leftrightarrow x_2 = -4[/tex]
[tex]\Rightarrow x_1 = x_2 + 6 = 2[/tex]
Намерил си корените, заместваш в произведението:
[tex]x_1x_2 = 4-n[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -8 = 4-n \Leftrightarrow n = 12[/tex]
И това е стойността на параметъра.

Скрит текст: покажи

Има го и вариантът, в който можем да разгледаме чисто теоретически двата варианта на разместване на корените и да решим задачата без тези формули от симетрични уравнения.
Знаем, според универсалната формула, че двата корена на уравнението ти са равни на:
[tex]x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/tex]
[tex]x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/tex]
Теоретически погледнато, от нас се изисква да допуснем по един вариант за всяко възможно индексиране на корените. Т.е. веднъж ще са така, както съм ги написал горе, и веднъж ще са разменени.
Следователно даденото ни ще е еквивалентно на:
[tex]x_1 - x_2 = 6 \cup x_2 - x_1 = 6[/tex]
Нека обаче да заменим сега стойностите, както са с универсалните означения:

Iсл:
[tex]\frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} - \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = 6[/tex]
[tex]\cancel{-b}+\sqrt{b^2 - 4ac} \cancel{+b} + \sqrt{b^2 - 4ac} = 12a[/tex]
[tex]2\sqrt{b^2 - 4ac} = 12a[/tex]
[tex]\sqrt{b^2 - 4ac} = 6a[/tex]

Аналогично при втория случай ще достигнеш до вида:
[tex]\sqrt{b^2 - 4ac} = -6a[/tex]

Както виждаш, при разменените позиции всичко се свежда до това какъв ще е знакът пред ирационалната стойност. И винаги ще ти се получават две уравнения, изглеждащи по този начин, както горе. Което означава, че едното от тях винаги няма да има решения, тъй като коренът има винаги положителна стойност и не може двете уравнения, при които дясната страна е с различен знак, да имат едновременно решения. Следователно ти зависи само и единствено от параметрите, кое от двете допуснати уравнения ще има решение, но то винаги ще е само едно. И ако в нашия случай решим нашето (което ще е горното, защото при нас [tex]а = 1[/tex], а ни трябва положителната стойност), ще получим:
[tex]\sqrt{b^2 - 4ac} = 6a[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{4 - 4.1.(4-n)} = 6.1[/tex]
[tex]2\sqrt{n-3} = 6[/tex]
[tex]\sqrt{n-3} = 3|^2[/tex]
[tex]n-3 = 9[/tex]
[tex]n = 12[/tex]

A за другото решение няма.

Всичко това вероятно е или следствие, или лежи в основата на симетричността на уравненията на Виет, при които индексирането няма значение... Не съм толкова навътре с теорията

[iliann]

Всъщност решението е n=+/- корен 12.
Да погледнем(философски) по стандартния начин за решаване чрез дискриминанта.Тогава се получават различни решеня при х1= -b-коренD/2a или пък
ако вземем х1= -b+коренD/2a

[Davids]

Не знам дали си го редактирал или съм го пропуснал по-рано, обаче при мен свибодният член на квадратното уравнение е само [tex]4-n[/tex], без втората степен. Ако прибавиш и нея, нещата се променят. Нужно ли е обяснение и за този вариант или схвана общо взето идеята каква е?
В случая с втората степен двете възможни стойности на параметъра идват точно оттам. А като се замислиш, разликата между условията е съвсем малка и лесно се вижда, че
[tex]4-(\pm\sqrt{12})^2 = 4-12[/tex], което е същинския отговор и нещата пак се свеждат до една стойност реално

[iliann]

Не знам дали ме разбра върху какво се чудя.Реши задачата чрез намиране на дискриминанта и размени местата на х1 и х2 и ще получиш два различни отговора.

[Davids]

Не знам дали ме разбра върху какво се чудя.Реши задачата чрез намиране на дискриминанта и размени местата на х1 и х2 и ще получиш два различни отговора.

Бях се опитал да обобщя, че няма как това да е възможно. Кои са двете различни решения, които получаваш? Според теорията би следвало, че при формулите на Виет (пак повтарям, симетрични уравнения) няма значение кой корен кой ще ти е. А ако решаваме чрез дискриминанта, би следвало само едното от двете възможни уравнения, които трябва да имаме предвид за решения, да има реално решение, тъй при двете се получава еднакъв корен от лявата страна и еднакъв израз, но с противоположни знаци, от дясната. И така решенията пак се свеждат до:
I начин:
Чрез Виет -
[tex]\begin{array}{|l} x_1 = x_2 + 6 \\ x_1 + x_2 = -2 \\ x_1x_2 = 4-n \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow x_2 = -4 \cup x_1 = x_2 + 6 = 2[/tex]
[tex]\Rightarrow -8 = 4 - n^2[/tex]
[tex]n^2 = 12[/tex]
[tex]n = \pm\sqrt{12}[/tex]

II начин:
[tex]\sqrt{b^2 - 4ac} = 6a \cup \sqrt{b^2 - 4ac} = -6a[/tex]
С универсалните означения, изведох тази зависимост по-горе.
При нашия случай [tex]а = 1[/tex] и лесно се вижда, че второто няма как да има решение, тъй като корен не може да е отрицателен.
Решаваме първото:
[tex]\sqrt{b^2 - 4ac} = 6a[/tex]
[tex]\sqrt{4 - 4(4-n^2)} = 6[/tex]
[tex]2\sqrt{1 - 4 + n^2} = 6|:2[/tex]
[tex]\sqrt{n^2 - 3} = 3|^2[/tex]
[tex]n^2 - 3 = 9[/tex]
[tex]n^2 = 12[/tex]
И окончателно: [tex]n = \pm\sqrt{12}[/tex]

Както виждаш, решението се свежда до това, какъвто и подход да предприемеш. Не мога да разбера къде срещаш трудности? Обясни, ако има нещо неясно, да се опитваме да дадем малко акъл

[iliann]

Грешката е моя.Сега го решавах пак и получавам отговора без значение кой корен ще е х1....Малко ме е срам.

[Davids]

Грешката е моя.Сега го решавах пак и получавам отговора без значение кой корен ще е х1....Малко ме е срам.

Няма проблеми, всички се учим