Булева алгебра

[matematika1221212]

Здравейте! Имам малко проблем с булевата алгебра, когато е с A,B и C..
Може ли малко помощ от някой, който ги разбира да реши една-две задачки поне, за да видя как стават нещата?




Благодаря предварително!

[Davids]

А, B и C реално не са ти нищо повече от прости съждения с някаква истинност, зависеща от условия. В случая трябва да достигнеш универсалния вид за изразите, предполагам, тъй като стойности не са зададени. Т.е. имаш само да опростиш. Основните неща за булевата алгебра (можеш да видиш тук или тук) предполагам, че ги знаеш, така че ще карам направо с няколко примера.
1. [tex]\overline{A.B}.\overline{C} + \overline{A.B}.C + A.\overline{B}.\overline{C} + A.\overline{B}.C = \overline{A.B}(\overline{C} + C) + A.\overline{B}(\overline{C} + C) = \overline{A.B} + A.\overline{B} = (\overline{А} + \overline{B}) + A.\overline{B} = \overline{B}.(A + 1) + \overline{A} = \overline{B} + \overline{A} = \overline{A.B}[/tex]
Kлючова е директната зависимост: [tex]\overline{A.B} = \overline{A} + \overline{B}[/tex]
2. [tex]А.\overline{B} + B.C + A.B.C = A.\overline{B} + B.C(1+A) = A.\overline{B} + B.C[/tex]
3. [tex]\overline{(A.\overline{A} + A.A).(A+A)} = \overline{A[A(\overline{A} + A)]} = \overline{A(A.1)} = \overline{A.A} = \overline{A}[/tex]
И т.н. Липсва ми всякаква практика с този тип записвания, но имам известен опит с програмирането, та това което пиша е изцяло от практика
Действа се по пътя на логиката просто. Ако имаш нещо конкретно неясно, сподели да умуваме

[Davids]

~Още едно доста добро място~

4. Тук ключова е следната зависимост: [tex]A(A+B) = A.A + A.B = A + A.B = A(1 + B) = A[/tex].
Тоест, ако имаш една булева (A) в конюнкция с израз в дизюнкция, в който се съдържа тя (A+B), то цялата тази конюнкция е равна на булевата ти(A).
Така получаваш: [tex](A + B).A.[A+B.(B+C)] = А.(1+B).[A + B(1+C)] = A.1.[A + B.1] = A.(A+B) = A(1+B) = A[/tex]

5. Тук трябва да знаеш: [tex]\overline{A + B} = \overline{A}.\overline{B}[/tex] и [tex]\overline{A.B} = \overline{A} + \overline{B}[/tex]
[tex]\overline{(\overline{A} + \overline{A})}.(\overline{\overline{B +B}}) + (A + A + B).(\overline{B+C}) =[/tex]
[tex]= \overline{\overline{A}}.\overline{\overline{B}} + (A+B)(\overline{B}.\overline{C}) =[/tex]
[tex]= AB + A(\overline{B}.\overline{C}) + \cancel{B.\overline{B}.\overline{C}} =[/tex]
[tex]= A(B + \overline{B}.\overline{C}) = A(\overline{\overline{B}} + \overline{B+C}) = A(\overline{\overline{B}.(B+C)}) = A(\overline{\cancel{\overline{B}.B} + \overline{B}.C}) = A(\overline{\overline{B}.C}) = A(\overline{\overline{B}} + \overline{C}) = A(B + \overline{C})[/tex]
Тук е доста възможно да съм направил някоя грешка някъде, но все пак

6. Тук трябва да имаш предвид, че [tex]A + ... + ... + \overline{A} = 1[/tex]
[tex]A.\overline{C} + C.(B + \overline{C} + A + \overline{B}) = A.\overline{C} + C[/tex]

[Davids]

7. [tex](\overline{AC}.C + \overline{AC}).(B.\overline{BC} + \overline{BC}) = \overline{AC}.\overline{BC} = \overline{AC + BC} = \overline{C(A+B)}[/tex]

8. [tex]\overline{\overline{X} + \overline{Y} + \overline{Z}} + XY + Z = \overline{\overline{XYZ}} + XY + Z = XYZ + XY + Z = Z(XY + 1) + XY = Z + XY[/tex]

9. [tex]\overline{x}.z.(y+\overline{y}) + y.\overline{z}.(x+\overline{x}) + x.\overline{y}.\overline{z} = \overline{x}.z + y.\overline{z} + x.\overline{y}.\overline{z} = \overline{x}.z + \overline{z}.(y + x.\overline{y})[/tex] и всъщност на мен до тук ми се изчерпват възможностите, някой може да помага ако е възможно по-нататъшно опростяване.

10. [tex]AB = \overline{AB}.C + A.\overline{B}.C = AB + C(\overline{AB} + A.\overline{B}) = AB + C(\overline{A} + \overline{B} + A.\overline{B}) = AB + C(\overline{B}(A+1) + \overline{A}) = AB + C(\overline{B} + \overline{A}) = AB + C(\overline{AB})[/tex], и до тук се изчерпвам.

11. [tex]\overline{AB + BC} + \overline{AB + AC} + \overline{AB} + \overline{A} + \overline{C} =[/tex]
[tex]= \overline{AB}.\overline{BC} + \overline{AB} + \overline{AC} + \overline{AB} + \overline{A} + \overline{C} =[/tex]
[tex]= \overline{AB}.\cancel{(\overline{BC} + \overline{AC} + 1)} + \overline{A} + \overline{C} =[/tex]
[tex]= \overline{AB} + \overline{A} + \overline{C} = \overline{A} + \overline{B} +\overline{A} + \overline{C} = \overline{A}+\overline{B}+\overline{C} = \overline{A.B.C}[/tex]

12. [tex]\overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BC} + ABC = \overline{A} + \overline{B} + \cancel{\overline{A}} + \overline{C} + \cancel{\overline{B}} + \cancel{\overline{C}} + ABC = \overline{ABC} + ABC = 1[/tex]

13. [tex]\overline{A + AB + AC} + A.\overline{B} + AB + \overline{AC} =
\overline{A}.\overline{AB}.\overline{AC} + A\cancel{(\overline{B} + B)} + \overline{AC} = \overline{AC}\cancel{(\overline{A}.\overline{AB} + 1)} + A
= \overline{A} + \overline{C} + A = 1 + \overline{C} = 1[/tex]

14. [tex]\overline{\overline{A+B}}.A + AB + \overline{\overline{AC}} + \overline{AC}.B =[/tex]
[tex]= A(A+B) + AB + AC + \overline{AC}.B =[/tex]
[tex]= A + AB + AC + \overline{AC}.B = A\cancel{(1+B)} + AC + \overline{AC}.B =[/tex]
[tex]= А + АC + \overline{AC}.B = A\cancel{(1+C)} + \overline{AC}.B =[/tex]
[tex]= A + \overline{AC}.B[/tex] и тук съответно приключвам с възможностите

15. [tex]AB.\overline{C} + ABC + A.\overline{B}.C =[/tex]
[tex]= AB.\overline{C} + A.\overline{B}.C + ABC + ABC =[/tex]
[tex]= AB\cancel{(\overline{C} + C)} + AC\cancel{(\overline{B} + B)} =[/tex]
[tex]= AB + AC = A(B+C)[/tex]

Надявам се да нямам много грешки. Ако има нещо неясно, споделяй