Задача от триъгълници

[tsetsi]

В остроъгълният триъгълникABC ъгълABC=40градуса и височините АА1 и СС1 се пресичат в точка H.Ако точка М среда на ВH,намерете ъглите на триъгълник A1C1M.

[Davids]

Понеже $\Delta BHA_1, \Delta BHC_1$ са правоъгълни, то сборът на правите им ъгли е 180 градуса и около $BA_1HC_1$ може да се опише олръжност с диаметър $BH$, следователно точка М е центърът й.
Страните $MA_1$ и $MC_1$ на триъгълника $MA_1C_1$ се явяват радиуси на тази окръжност, следователно са равни и триъгълникът е равнобедрен.
В същата окръжност обаче $\angle A_1BC_1$ е вписан ъгъл, следователно е половината от срещулежащата му дъга, която излиза $\overline{A_1HC_1} = 80$. На същата дъга обаче съответства централния ъгъл $A_1MC_1$, който следва, че също ще е равен на 80.
Вече ъглите са ясни:
$\angle A_1MC_1 = 80^{\circ}$
$\angle MA_1C_1 = \angle MC_1A_1 = 100:2 = 50^{\circ}$

[tsetsi]

Благодаря!