Да се докаже, че n^3−n се дели на 6

[yess]

[tex]52^{9} - 52^{8}[/tex] се дели на 51
[tex]2008^{2009} + 2008^{2008}[/tex] се дели на 2009
[tex]n^{3} - n[/tex] се дели на 6

Как се решават такива задачи?

[Davids]

[tex]52^{9} - 52^{8}[/tex] се дели на 51
[tex]2008^{2009} + 2008^{2008}[/tex] се дели на 2009
[tex]n^{3} - n[/tex] се дели на 6

Как се решават такива задачи?

1) $52^9 - 52^8 = 52.52^8 - 52^8 = 52^8(52-1) = 51.52^8$ и очевидно се дели на 51
2) $2008^{2009} + 2008^{2008} = 2008.2008^{2008} + 2008^{2008} = 2008^{2008}(2008+1) = 2009.2008^{2008}$ и аналогично на горния пример се дели на 2009
3) $n^3 - n = n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)$. Сега включваме малко теория на числата. За да докажем, че числото се дели на 6, трябва да докажем, че то се дели на 2 и 3 едновременно. Имаме произведение от три поредни естествени числа, което веднага ни гарантира делимостта на 3, а още по-логично е, че от три поредни числа поне едно е четно, а това ни осигурява делимост на 2. Делимостта на 6 е доказана

[yess]

[tex]52^{9} - 52^{8}[/tex] се дели на 51
[tex]2008^{2009} + 2008^{2008}[/tex] се дели на 2009
[tex]n^{3} - n[/tex] се дели на 6

Как се решават такива задачи?

1) $52^9 - 52^8 = 52.52^8 - 52^8 = 52^8(52-1) = 51.52^8$ и очевидно се дели на 51
2) $2008^{2009} + 2008^{2008} = 2008.2008^{2008} + 2008^{2008} = 2008^{2008}(2008+1) = 2009.2008^{2008}$ и аналогично на горния пример се дели на 2009
3) $n^3 - n = n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)$. Сега включваме малко теория на числата. За да докажем, че числото се дели на 6, трябва да докажем, че то се дели на 2 и 3 едновременно. Имаме произведение от три поредни естествени числа, което веднага ни гарантира делимостта на 3, а още по-логично е, че от три поредни числа поне едно е четно, а това ни осигурява делимост на 2. Делимостта на 6 е доказана

Благодаря.