Сума от първите n степени на двойката

[Davids]

Примерът ми е с двойка, но ме интересува и принципната теория във всеки случай, когато изнасяме брояча в степенен показател и въобще какво се прави (допускам че е редно това да е доста фундаментално, въпреки че никаква логика не ми помага да стигна до някакво развитие на израза). Та примерно:
[tex]\sum_{n=1}^{10 }2^n[/tex]

[Knowledge Greedy]

Davids, не го ли обсъждахме вече?
Подробно
[tex]\sum_{n=0}^{10 }2^n=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}[/tex]
Ако умножим сумата по [tex]2[/tex], ще получим
[tex]2\sum_{n=0}^{10 }2^n=2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}+2^{11}[/tex]
Но това е
[tex]2\sum_{n=0}^{10 }2^n=\sum_{n=0}^{10 }2^n - 2^0+2^{11}[/tex]
И оттук
[tex]\sum_{n=0}^{10 }2^n=2^{11}-1[/tex]
___________
Разбира се, може да използваш и формулата за сума на геометрична прогресия.
________
Или не съм разбрал въпроса?

[Davids]

Придържах се към прост принцип, но въпросът беше генерален: дали въобще има нещо допълнително като по-сложна теория (формули, теореми, аксиоми, зависимости), които помагат, когато n присъства в степенния показател, или просто винаги търсим да сведем до някакъв вид прогресия или да го извъртим както показа в решението (за което не се бях сетил и се нарадвах ) Вероятно примерът ми не е бил достатъчно комплексен, но не исках да изпльоскам някоя нерешима глупост
Та, да приемам ли, че винаги търсим пътя към изразяване чрез прогресия или съкращаване на самата сума?

[Knowledge Greedy]

По същество ДА - започва с прогресия, самото номериране е с аритметична прогресия.
В останалото е същността на проблема. И затова има толкова много задачи.
Но съвсем кратко - методът се нарича ППМИ. Принцип на пълната математическа индукция.