Изпъкнал многоъгълник - брой диагонали, пресечени точки...

[aifC]

Публикувам ги тук за да са полезни и на други, а и може колегите да се включат в някои от тях.

Задача 1.
Даден е изпъкнал многоъгълник с n страни, n≥4, в който никои три диагонала не минават през една и съща вътрешна точка. Пресметнете:
а) броя на диагоналите;
б) броя на пресечните точки на диагоналите;
в) броя на областите, на които многоъгълникът се разделя от диагоналите си.
Забележка:
Под “диагонали” се разбират отсечките, а не правите. С други думи, в задачата се разглеждат само пресечните точки вътре в многоъгълника.

Задача 2.
В пощата си имате десет писма, които трябва да прочетете и да им отговорите.
По колко начина можете да подредите тези двайсет действия? Единственото ограничение е,
че не можете да отговорите на писмо, преди да сте го прочели.

Задача 3.Колко са пермутациите a1,a2,a3,...,an на числата 1 , 2 , 3 ,...,n без повторение, такива, че ak−ak−1≠1 за всяко k∈{2,3,...,n}?
Изисква се точен отговор. Опростете отговора максимално! Ако и след опростяването
отговорът все още има сложен вид, използвайте приближения за допълнително опростяване.

[aifC]

1.зад
a) Merry98 дава следния отговор: [tex]\frac{(n-3)n}{2};[/tex]

б)Диагоналите, направени с помощта на всички избрани върхове, правят само едно пресичане. Следователно точките на пресичане на диагонала, направени вътре в многоъгълника: [tex]nC_{4} = \frac{n!}{(n-4)! \cdot 4!};[/tex]

в)броя на областите, на които многоъгълникът се разделя от диагоналите си e : [tex]1+{n \choose 2} + {n \choose 4} -n = {n-1 \choose 2}+{n \choose 4}[/tex]

[inveidar]

Моят отговор на мери98 за първата задача на лично съобщение:
Добре де. Броят на пресечните точки на диагоналите са равни на броя на четириъгълниците с върхове от върховете на многоъгълника, нали? Всяка пресечна точка, се явява пресечна точка на два диагонала в четириъгълник. Така получаваме [tex]C_n^4[/tex]. Броят на частите се пресмята така: Всеки нов диагонал създава точно m+1 нови части в многоъгълника. Една като тръгва от върха и още m от пресичането на m от предишните диагонали. Можеш да си направиш чертеж. Така броятна частите е броя на диагоналите плюс броя на пресечните точки, плюс още една.