Инвариантност при ракиените казани

[KOPMOPAH]

Трима приятели $A$, $B$ и $C$ имали домашни ракиени казани. Казанът на $A$ произвеждал ракия с алкохолен градус $a^\circ$ за $a$ часа, на другите двама - съответно $b^\circ$ за $b$ часа и $c^\circ$ за $c$ часа. Приятелите нямали време да чакат и решили да съберат трите казана заедно, така че продукцията да се събира в един съд. Този съд се напълнил за $24$ часа. Пита се - какъв е алкохолният градус на получената напитка?
Заб. 1. Казаните са еднакъв модел и съдовете за готовата продукция са с еднакъв обем.
Заб. 2. Ракията през цялото време на варенето е с еднакъв градус - не съответства на реалния живот, но за целите на задачата става.

[S.B.]

Аз разсъждавам така:
Казан А: за 1 час - обемът V =[tex]\frac{1}{а}[/tex] , за 24 часа -[tex]V_{a }[/tex]= [tex]\frac{24}{а}[/tex] , масата е [tex]m_{a }[/tex] = [tex]\frac{24}{a}[/tex].a[tex]^\circ[/tex]
Казан B :за 1 час - [tex]\frac{1}{b}[/tex] ,за 24 часа [tex]V_{b }[/tex] = [tex]\frac{24}{b}[/tex], [tex]m_{b }[/tex] = [tex]\frac{24}{b}[/tex].b[tex]^\circ[/tex]
Казан C : за 1 час -[tex]\frac{1}{c}[/tex] , за 24 часа - [tex]V_{c }[/tex] = [tex]\frac{24}{c}[/tex], [tex]m_{c }[/tex] = [tex]\frac{24}{c}[/tex].c[tex]^\circ[/tex]
Общият обем ракия е :[tex]V_{a }[/tex] + [tex]V_{b }[/tex] + [tex]V_{c }[/tex],а общата маса е : ([tex]V_{a }[/tex] + [tex]V_{b }[/tex] + [tex]V_{c }[/tex]).X[tex]^\circ[/tex] = [tex]m_{a }[/tex] + [tex]m_{b }[/tex] + [tex]m_{c }[/tex]
Приемам (без да разбирам нищо от ракия!) че a[tex]^\circ[/tex] = [tex]\frac{a}{100}[/tex], b[tex]^\circ[/tex] = [tex]\frac{b}{100}[/tex], c[tex]^\circ[/tex] = [tex]\frac{c}{100}[/tex] и X[tex]^\circ[/tex] = [tex]\frac{X}{100}[/tex] ,(където X е търсенияталкохолен градус) и тогава
([tex]\frac{24}{а}[/tex] + [tex]\frac{24}{b}[/tex] + [tex]\frac{24}{c}[/tex]).[tex]\frac{X}{100}[/tex] = [tex]\frac{24}{a}[/tex].[tex]\frac{a}{100}[/tex] + [tex]\frac{24}{b}[/tex].[tex]\frac{b}{100}[/tex] + [tex]\frac{24}{c}[/tex].[tex]\frac{c}{100}[/tex]
[tex]\frac{24}{100}[/tex].([tex]\frac{1}{a}[/tex] + [tex]\frac{1}{b}[/tex] + [tex]\frac{1}{c}[/tex]).X = 3.[tex]\frac{24}{100}[/tex]
[tex]\frac{bc +ac + ab}{a.b.c}[/tex] .X =3 или X = [tex]\frac{3.a.b.c}{bc + ac + ab}[/tex]

[KOPMOPAH]

Звучи правдоподобно, но пък ако допуснем $a=b=c=96$, получаваме $X=\frac{3.96^3}{3.96^2}=96$, което е логично. От друга страна, ако $a=b=c=96$, то за $24$ часа ще се произведе само по $\frac 14$ от всеки съд или общо $\frac 34$ от обема и няма да е изпълнено условието. Трябва да се намери още нещо

[S.B.]

Да,така е!Но ако a=b=c =72 часа тогава за 24 часа всеки ще напълни по [tex]\frac{1}{3}[/tex] от общия съд,или за 24 тримата заедно ще напълнят целия съд ( или казан?).Т.е. a=b=c е един частен случай при който "работоспособността " на казаните е еднаква. Би трябвало за един час общо тримата да напълнят [tex]\frac{1}{24}[/tex] от съда. Или [tex]\frac{1}{а}[/tex] + [tex]\frac{1}{b}[/tex] + [tex]\frac{1}{c}[/tex] = [tex]\frac{1}{24}[/tex] и да се намери зависимост между а,b и c.За съжаление сега бързам и най- рано тази вечер ще мога да се занимая с този въпрос Хубав ден!
Сетих се!Върнах се от асансьора за да го напиша!:Щом [tex]\frac{1}{a}[/tex] + [tex]\frac{1}{b}[/tex] + [tex]\frac{1}{c}[/tex] = [tex]\frac{1}{24}[/tex]
то тогава от [tex]\frac{24}{100}[/tex] . ([tex]\frac{1}{а}[/tex] + [tex]\frac{1}{b}[/tex] + [tex]\frac{1}{c}[/tex]).X = 3.[tex]\frac{24}{100}[/tex]
[tex]\frac{1}{24}[/tex].X = 3 и тогава X=72

[KOPMOPAH]

Точно това имах предвид, като поставях заглавие - крайният градус НЕ ЗАВИСИ от градусите на трите казана $a$, $b$ и $c$
Найс, а?

[S.B.]

Точно това имах предвид, като поставях заглавие - крайният градус НЕ ЗАВИСИ от градусите на трите казана $a$, $b$ и $c$
Найс, а?

Прекрасна задача!Удоволствието беше за мен!Благодаря!

[Гост]

Извинявам се, че така се намесвам, но не разбирам условието. Може ли допълнителни разяснения?
Съдът се напълнил за 24 часа. Това какво значи? Че и трите казана са работили точно 24 часа, всеки е пускал през цялото време ракия с определен градус, и при това е работил с постоянен дебит, т.е. количество произведена ракия за единица време? Значи постоянен дебит на всеки казан? Но дебитите на различните казани не са задължително равни?