Мозъчна гимнастика с ирационални числа

[Genie_Almo]

Може ли ирационално число на степен ирационално число да дава рационално число?

[KOPMOPAH]

$2^{\frac 1{\sqrt 2}}=\sqrt[\sqrt 2]2$ трябва да е ирационално, повдигнато на степен $\sqrt 2$ дава $2$

[pal702004]

$2^{\frac 1{\sqrt 2}}=\sqrt[\sqrt 2]2$ трябва да е ирационално

Не е лесно за доказване. Но не е и нужно.

$A=(\sqrt{2})^{\sqrt 2}$ или е рационално (и твърдението е доказано), или е ирационално, тогава $A^{\sqrt 2}=2$ и твърдението е доказано.