Задачки

[fen4eto88]

Здравейте, имате ли възможност да решите някоя от задачките в приложение.
Ще съм благодарен и на обяснение от 2-3 думи.

[Nathi123]

3. зад. а) [tex]AB=\sqrt{(-3+1)^{2}+(5-7)^{2}+(2-3)^{2}}=3 ; BC=\sqrt{16}=4 ; AC=\sqrt{4+4+1}=3[/tex]
[tex]\Rightarrow AB=AC=3; \Rightarrow \angle ABC = \angle ACB=\gamma[/tex].
От косинусова т-ма за [tex]\triangle ABC \Rightarrow cos\gamma =\frac{16+9-9}{2.3.4}=\frac{2}{3} ; cos\alpha = cos\angle BAC=\frac{1}{9}[/tex].
б) [tex]CH\bot AB \Rightarrow \frac{CH}{BC}=sin\gamma ( \triangle BHC ; \angle BHC=90^\circ ) ; cos\gamma = \frac{2}{3}\Rightarrow sin\gamma = \frac{\sqrt{5}}{3}\Rightarrow CH=\frac{4\sqrt{5}}{3}=h_{c }[/tex].
[tex]m_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2a^{2}-c^{2}}=\frac{\sqrt{41}}{2}; l_{c} = \frac{2abcos\frac{\gamma}{2}}{a+b}; cos\frac{\gamma}{2}=\sqrt{\frac{1+cos\gamma}{2}}[/tex]
[tex]cos \frac{\gamma}{2} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \Rightarrow l_{c }=\frac{4\sqrt{30}}{6}.[/tex]
в) [tex]S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB.CH=\frac{1}{2}.3.\frac{4\sqrt{5}}{3}=2\sqrt{5}[/tex].

[KOPMOPAH]

Ето тук https://www.matematika.bg/reshavane-na-zadachi/matrici-kalkulatori.html под заглавието Решаване на система от n линейни уравнения с n неизвестни можеш да видиш как се решава.
Да не те смущава фактът, че се получава Отговори: The system has many solutions!. Това е, защото детерминатата, образувана от коефициентите пред неизвестните $$\Delta =\begin{vmatrix}
-7 &12 &1 &4\\
2 &-9 &4 &1\\
1 &3 &-1 &-1\\
-4 &-3 &4 &4
\end{vmatrix}=0$$
Когато детерминатата е нула, системата е неопределена.

Но ти можеш да се покриеш с безсмъртна слава и получиш гарантирана шестица от гл. ас. ЦВЕТЕЛИНА Л. ДИНКОВА, като кажеш, че при смяна на знака пред $x_4$ в третото уравнение, така че то да стане $1x_1+3x_2-1x_3+1x_4=3$ системата си има съвсем определени решения, в което можеш да се убедиш на горепосочения линк.

[KOPMOPAH]

Имаме работа с матрично уравнение от вида: $X·A = B$,
където:
$$A = \begin{pmatrix}
3&1&4\\
0&2&-1\\
1&2&0
\end{pmatrix}$$
$$B =\begin{pmatrix}
3&5&2\\
3&4&1
\end{pmatrix}$$

Изчисляваме детерминатата на $A$:
$$\Delta = 3.(2.0 – 2.(-1)) – 0.(1.0 – 2.4) + 1.(1.(-1) – 2.4) = -3$$
След като детерминатата е различна от $0$, значи съществува обратна матрица $A^{-1}$
Всичко това правим, защото като умножим двете страни на обратната матрица $A^{-1}$ получаваме $X.A. A^{-1} = B.A^{-1}$, откъдето $ X. E= B.A^{-1}$, където $E$, както се досещаш, е единичната матрица.

Как да намерим тази обратна матрица $A^{-1}$?
Първо намираме транспонираната матрица $A^T$
$$A^T =\begin{pmatrix}
3&0&1\\
1&2&2\\
4&-1&0
\end{pmatrix}$$
След това намираме алгебричните допълнения
$$A_{1,1} = (-1)^{1+1}
\begin{pmatrix}
2&2\\
-1&0
\end{pmatrix}, \Delta_{1,1} = (2.0 - (-1).2) = 2$$
$$A_{1,2} = (-1)^{1+2}\begin{pmatrix}
1&2\\
4&0
\end{pmatrix}, \Delta_{1,2} = -(1.0 – 4.2) = 8$$
$$A_{1,3} = (-1)^{1+3}\begin{pmatrix}
1&2\\
4&-1
\end{pmatrix}, \Delta_{1,3} = (1.(-1) – 4.2) = -9$$
$$A_{2,1} = (-1)^{2+1}\begin{vmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{vmatrix}, \Delta_{2,1} = -(0.0 - (-1).1) = -1$$
$$A_{2,2} = (-1)^{2+2}\begin{pmatrix}
3&1\\
4&0
\end{pmatrix}, \Delta_{2,2} = (3.0 – 4.1) = -4$$
$$A_{2,3} = (-1)^{2+3}\begin{pmatrix}
3&0\\
4&-1
\end{pmatrix}, \Delta_{2,3} = -(3.(-1) – 4.0) = 3$$
$$A_{3,1} = (-1)^{3+1}\begin{pmatrix}
0&1\\
2&2
\end{pmatrix}, \Delta_{3,1} = (0.2 – 2.1) = -2$$
$$A_{3,2} = (-1)^{3+2}\begin{pmatrix}
3&1\\
1&2
\end{pmatrix}, \Delta_{3,2} = -(3.2 – 1.1) = -5$$
$$A_{3,3} = (-1)^{3+3}\begin{pmatrix}
3&0\\
\end{pmatrix}, \Delta_{3,3} = (3.2 – 1.0) = 6$$

И така получихме обратната матрица по формулата $$ A^{-1}=\frac 1{\Delta}.A^T$$ $$A^{-1}=\frac 1{-3}
\begin{pmatrix}
2&8&-9\\
-1&-4&3\\
-2&-5&6
\end{pmatrix}$$
Матрицата $X$ се намира, като се умножат матриците $B$ и $A^{-1}$
$$X =B.A^{-1}=
\begin{pmatrix}
3&5&2\\
3&4&1
\end{pmatrix}.
\frac 1{-3}
\begin{pmatrix}
2&8&-9\\
-1&-4&3\\
-2&-5&6
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&-1&3\end{pmatrix}$$