Показателно неравенство - с x в основата и степента

[penevdevs]

[Здраейте,
Имам затруднение със следната задачка:
(x^{2}+x+1)^{x}<1.
След разглеждането на 2 случая получавам решението (-∞ ; 0), a в отговорите го дават (-∞ ; -1)

[Sup3rlum]

Това е така, защото в интервалът $(-1,0)$
$(x^2+x+1) < 1$, и след като $x \in (-1,0)$, вдигането на степен $x$ в този интервал е:

$\frac{1}{(x^2+x+1)^{|x|}}$, Щом е в този интервал следователно $|x| < 1$, следователно знаменателя и по-малко от 1, а целия израз е по-голям от 1.

[Davids]

$(x^2 + x + 1)^x < 1$
$ln(x^2 + x + 1)^x < ln1$
$xln(x^2 + x + 1) < 0$

Можем да извършим действието, тъй като основата $x^2 + x + 1$ е винаги положителна.
За да е изпълнено полученото неравенство, искаме двата множителя да са с различни знаци. Първият е ясен, гледаме втория:
I) сл.: $ln(x^2 + x + 1) < 0$ ($\Rightarrow x > 0$, за да е обратен знакът)
$x^2 + x + 1 < 1$
$x(x + 1) < 0$
$\Rightarrow x \in (-1; 0)$, което не съответства на $x > 0$ и решения няма в този случай.

Аналогично
II) сл.: $ln(x^2 + x + 1) > 0$ ($\Rightarrow x < 0$, за да е обратен знакът)
$x^2 + x + 1 > 1$
$x(x + 1) > 0$
$x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$

Пресечено с $x < 0$, това ни дава и окончателния отговор от $x \in (-\infty; -1)$.

[ptj]

Може да се реши и без логаритмуване, но реално пак се използват свойствата на показателнатаз функция.

[tex](x^2+x+1)^x<1[/tex]

[tex]((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})^x<1[/tex]

От лявата страна имаме степенуване на неотрицателно число , затова са възможни два случая:

(i): числото е по-малко от 1, а степента положителна :
[tex]-\frac{1}{2}<x+\frac{1}{2}<0[/tex] и [tex]x>0[/tex]

няма решение (интервалите не се засичат)


(ii): числото е по-голямо от 1, а степента отрицателна:
[tex](x+\frac{1}{2})\notin [ -\frac{1}{2};\frac{1}{2}][/tex] и [tex]x<0[/tex]


решение е [tex](-\infty;-1)[/tex]

[penevdevs]

Благодаря ви!