Параметрично уравнение

[nelson88]

Да се намерят стойностите на параметъра а, при които уравнението
[tex]\frac{|х-2|(х-3)}{x^{2}-2х-3}[/tex]=а
има единствено решение!
Благодаря!

[Михаил05]

[tex]\frac{/x-2/(x-3)}{(x-3)(x+1)}[/tex] = 0 Д.С. [tex]x\ne[/tex]-1;3
[tex]\frac{/x-2/}{x+1}[/tex] = 0
1. При [tex]x > 2[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] /x-2/ = x-2 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{x-2}{x+1}[/tex] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{a+2}{1-a}[/tex]
2. При [tex]x < 2[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{-x+2}{x+1}[/tex] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{2-a}{a+1}[/tex]
За да има само един корен ,трябва [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]x_{2 }[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{a+2}{1-а}[/tex] = [tex]\frac{2-а}{а+1}[/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex] а = 0 . При а = 0 , уравнението има само един корен [tex]x[/tex] = 2

[Nathi123]

Тъй като [tex]x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1),[/tex] то даденото уравнение е еквивалентно със системата [tex]\begin{array}{|l} \frac{|x-2|}{x+1} =a\\ x \ne-1,3 \end{array}[/tex]
І.сл. [tex]x\in (-\infty,-1)\cup (-1,2)\Rightarrow \frac{2-x}{x+1}=a\Rightarrow x=\frac{2-a}{1+a};a\ne-1;x\ne-1[/tex] за всяко а и [tex]\frac{2-a}{1+a} <2\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a\in (-\infty,-1)\cup (0,\infty) \Rightarrow x=\frac{2-a}{1+a}, a\in (-\infty,-1)\cup (0,\infty)[/tex].
ІІ. сл. [tex]x\ge2\Rightarrow \frac{x-2}{x+1}=a;x\ge2\Rightarrow x+1\ne0\Rightarrow x=\frac{2+a}{1-a}[/tex] е решение на уравнението ,ако
[tex]\frac{2+a}{1-a}\ge 2 ;a\ne1\Leftrightarrow a\in [0,1)[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] при [tex]a\in (-\infty ,-1)\cup (1,\infty )[/tex] единственото решение на уравнението е [tex]x=\frac{2+a}{1-a}[/tex]
При a=0 единственото решение е x=2 ; при a=1 единственото решение е [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]. При [tex]a\in(0,1)[/tex] уравнението има две решения.

[ptj]

Една забележка и към двете решения:
След като множителя [tex](x-3)[/tex] го има и в числителя и знаменателя и той се съкращава , то от дефиниционното множество не е необходимда се се изважда 3-ката, т.е. [tex]x=3[/tex] си е напълно допустима стойност.

[Петър Евгениев]

Една забележка и към двете решения:
След като множителя [tex](x-3)[/tex] го има и в числителя и знаменателя и той се съкращава , то от дефиниционното множество не е необходимда се се изважда 3-ката, т.е. [tex]x=3[/tex] си е напълно допустима стойност.

Щом го има и в числителя и знаменателя, може да се съкрати само, ако преди това си дал $x\ne 3$ ?

[Nathi123]

В условието на задачата лявата страна на уравнението е дробен израз със знаменател [tex]x^{2}-2x-3[/tex]
Затова допустими стойности са [tex]x\ne -1;3[/tex]
т.е. x=3 не може да е решение на дробното уравнение !

[ptj]

Пишете глупости.

Ще ви дам само един пример:
[tex]1=\frac{x-1}{x-1}=\frac{x-2}{x-2}=...=\frac{x-a}{x-a}[/tex]

В произволно уравнение мога да заменя множителя 1 с една от горните дроби. Тогава какво излиза -че цялата цифрова права е извъм дефиниционното множество ли?

[Knowledge Greedy]

Графичен подход.png (35.88 KiB) Прегледано 1151 пъти

За тези, които могат да четат графики, задачата е очевидна.
Синята права [tex]y=a[/tex] пресича червената крива - графиката на функцията - лява част на уравнението
[tex]y=\frac{ |x-2|(x-3)}{(x+1)(x-3)}[/tex], в тъмнозелената точка, чиято абсциса е решение на уравнението.
Тази точка е единствена точно тогава, когато [tex]a\notin (0;1)[/tex], с изключение на [tex]a=\frac{1}{2}[/tex]
Т.е. при всяко [tex]a\in (-\infty;0]\cup[1;+\infty)\cup \left \{\frac{1}{2} \right \}[/tex] уравнението има само едно позволено решение - както виждате непозволени са числата, отговарящи на жълтите точки.
________________
Особено внимание заслужава "скритата" [tex]a=\frac{1}{2}[/tex], защото съответният корен не фигурира в първоначалното задаване на първата (червената) функция. Ако допуснем, че [tex]x=3[/tex], в същност решението на уравнението е абсцисата на другата зелена точка на чертежа - която има същата ордината каквато има жълтата.

[Knowledge Greedy]

И една забележка към забележката на ptj . Лявата страна не е [tex]y=\frac{ |x-2|}{(x+1)}[/tex] , а е .
[tex]y=\frac{ |x-2|(x-3)}{(x+1)(x-3)}[/tex]

Т.е. решаваме не уравнението [tex]\frac{ |x-2|}{(x+1)}=a[/tex]

а уравнението [tex]\frac{ |x-2|(x-3)}{(x+1)(x-3)}=a[/tex]

И докато решенията на първото са всички параметри от интервала [tex]a\in (-\infty;0]\cup[1;+\infty)[/tex] , то решенията на второто са [tex]a\in (-\infty;0]\cup[1;+\infty)\cup \left \{\frac{1}{2} \right \}[/tex]

[Nathi123]

Глупост е да се пише,че [tex]\frac{0}{0}=1[/tex],защото [tex]\frac{x-1}{x-1} =1 \Leftrightarrow x\ne1[/tex] ,при x=1 дробта [tex]\frac{x-1}{x-1}[/tex] не е дефинирана !

[Knowledge Greedy]

Явно ще трябва да се обръщам към всеки поотделно, защото всеки чете само част от цялото.
Nathi123, кои са решенията на уравнението, когато [tex]a=\frac{1}{2}[/tex]?

[Nathi123]

При a =-1 получаваме уравнението [tex]\frac{|x-2|(x-3)}{(x+1)(x-3)}=-1\Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{|x-2|}{x+1}=-1 \\ x \ne -1;3 \end{array}[/tex]
[tex]|x-2|=-x-1;x\ne-1;3\Rightarrow -x-1\ge 0\Leftrightarrow x\le-1\Rightarrow |x-2|=2-x[/tex] т.е. уравнението е еквивалентно на:
[tex]2-x =-x-1\cap x<-1 \Leftrightarrow 0x=-3[/tex] т.е. при a=-1 уравнението няма решение! По същия начин може да се установи ,че ако
[tex]a = - \frac{1}{2}[/tex] уравнението е еквивалентно на [tex]2( 2-x )=-x-1\cap x<-1\Leftrightarrow x=5 \notin (-\infty,-1)[/tex]
т.е при тази стойност на а уравнението няма решение. Изобщо при [tex]a\in (-\infty,-1)\cup(1,\infty) x=\frac{2-a}{1+a}[/tex] е ед. реш. на уравнението.
При [tex]a\in[-1,0)[/tex] уравнението изобщо няма решение !

[Knowledge Greedy]

Nathi123, отговорът на задачата е [tex]a\in (-\infty;-1)\cup \left \{0; \frac{1}{2} \right \}\cup [1;+\infty)[/tex]
и е посочен в моя пост - с графиката, но с пропуск в записа - и заради неначертаната асимптота в [tex](-\infty)[/tex].

Дефиниционното множество [tex]\forall x\ne-1[/tex] и [tex]x\ne3[/tex] има отношение към решението, но не и към отговора.
А аз продължавам да питам: когато [tex]a=\frac{1}{2}\in(0;1)[/tex], колко са корените на уравнението?

[ptj]

О,К.
Грешката за дефинициооното множeство е моя.
---------------------------------------------------------------------------------

Макар, че от гледна точка на анализа е възможно да се приеме (чрез додефиниране) , че функцията [tex]y=\frac{x-a}{x-a}[/tex] e непрекъсната по цялата числова права. Основание е факта, че в точката [tex]x=a[/tex] има прекъсване от първи род, т.е. лявата и дясната граница в точката са равни помежду си. Но това е над знанията на учениците.

[Nathi123]

Отговарям на Knowledge Greedy : във въпросния пост пише,че единствено решение уравнението има за стойности на [tex]a\in(-\infty,0]\cup[1,\infty)\cup{\frac{1}{2}}[/tex]
Мисля ,че с конкретни примери показах,че за [tex]a\in [-1,0)[/tex] уравнението няма решение. И да подчертая ,че лявата страна на даденото уравнение е дроб ,но с модул в числителя,което предполага друго деф. множество.По същата причина при [tex]a = \frac{1}{2}[/tex] уравнението има две решения : x=1 и x=5 !

[Nathi123]

Преди малко бързах и не бях много точна в отговора. Ще реша подробно даденото уравнение за а = [tex]\frac{1}{2}[/tex] .То има вида :
[tex]\frac{|x-2|}{x+1}=\frac{1}{2};x\ne -1;3[/tex] .Тъй като е уравнение с модул,за да се освободим от знака за модул и да получим дробно уравнение ,трябва да разгледаме 2 случая.Като решение на уравнението ще получим,ако намереното х е от деф. множество на случая,който разглеждаме!
И така: І. сл. [tex]x\in (-\infty ,-1)\cup (-1,2)\Rightarrow \frac{2-x}{x+1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2(2-x)=x+1\Leftrightarrow 4-2x=x+1\Leftrightarrow 3x=3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=1[/tex] .Това е решение на уравнението ,защото е от деф. множество на случая.
ІІ. сл ако [tex]x\in [2,3)\cup(3,\infty)\Rightarrow |x-2|=x-2\Rightarrow \frac{x-2}{x+1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2(x-2)=x+1\Leftrightarrow 2x-4=x+1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]x=5; 5\in (3,\infty)\Rightarrow x=5[/tex] също е решение на уравнението . И така при [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] уравнението има две!!! решения,поради което
тази стойност на параметъра не е решение на задачата.( Да припомня,че се търсят стойностите на параметъра,за които дробното уравнение с модул и параметър има
единствено решение!)

[Knowledge Greedy]

Благодаря на ptj и Nathi123!
Ще се обърна и към останалите участници във Форума, които проявяват интерес към тази задача и този подход, който в случая е само за 12 - класници.
Когато решаваме едно уравнение графично, чертаем графика на функция и преценяваме координатите на пресечните точки на тази графика с координатна ос. Възможно е да построим и две графики, след което да гледаме за техните пресечни точки.[tex]^{*}[/tex]

Чертеж 1.png (32.24 KiB) Прегледано 1055 пъти

Тъй като в задачата на nelson88 от 12 август става въпрос за брой на решенията на уравнението [tex]\frac{|x-2|(x-3)}{x^2-2x-3}=a[/tex]
предположих, че е по-разумно да покажа графично решение за намирането на параметъра (при това вече имаше непълни такива), а не да намирам корените в зависимост от търсения параметър [tex]a[/tex].
За беда използвах не съвсем редовен терминал и демонстрирах завиден брой грешки.

Ето решението.
Чертаем графиките на функциите [tex]y=\frac{|x-2|(x-3)}{x^2-2x-3}[/tex] - лявата страна на уравнението
и
[tex]y=a[/tex] - дясната страна на уравнението.
Първата е със зелен цвят, втората е с червен цвят на чертежа.
Първата има формула [tex]y=\frac{|x-2|}{x+1}[/tex] на чертежа, тъй като е съкратен множетел [tex](x-3)[/tex], което не ни освобождава от отговорността да се застраховаме с: [tex]x\ne -1[/tex] и [tex]x\ne 3[/tex].

Графиката на първата функция има една вертикална асимптота [tex]x=-1[/tex] и две хоризонтални - с уравнения [tex]y=-1[/tex] и [tex]y=1[/tex]
(кафява и синя)
Освен това тази графика няма точка с абсциса [tex]x=3[/tex].

За разлика от нея, втората е изключително проста: [tex]y=a[/tex] - правата с червен цвят на чертежа, успоредна на абсцисната ос.

Остава само да преброим пресечните точки на двете графики (червената и зелената), когато [tex]a[/tex] се движи от [tex]- \infty[/tex] до [tex]+\infty[/tex].

Чертеж 3.png (48.71 KiB) Прегледано 1055 пъти

Под хоризонталната асимптота [tex]y=-1[/tex] червената права пресича зелената крива само в една точка - тъмнозелената. Значи при [tex]a<-1[/tex] нашето уравнение е с единствен корен.

Между хоризонталната асимптота [tex]y=-1[/tex] (включително) и абсцисната ос (без нея!) - в бялата област на чертежа няма изобщо точки от зелената крива - там няма пресечни точки и следователно за [tex]a\in [-1;0)[/tex] уравнението няма решения.

Между абсцисната ос (без нея!) и втората хоризонтална асимптота [tex]y=1[/tex] (без нея) двете графики имат две общи точки, т.е. уравнението има два корена - виж точките [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] в лилавата област.
Аналитично - при всяко [tex]a\in (0;1)[/tex] уравнението има два корена.

При [tex]a=0[/tex] - когато червената права съвпада с абсцисната ос - явно общата точка на двете графики е [tex]A(2;0)[/tex] - само една.
Така имаме и [tex]a=0[/tex]

СТОП Точно за [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] това не е вярно!! По-точно абсцисата на [tex]A[/tex] е корен, но тази на [tex]B[/tex] не е!
Ами нали [tex]x_B=3[/tex], а имахме ограничение [tex]x\ne 3[/tex] ...
Следователно ще трябва включим [tex]a=\frac{1}{4}[/tex] в множеството на отговорите.[tex]^{**}[/tex]

А относно лилавата област - за всяко [tex]a\in \left ( 0; \frac{1}{4} \right )\cup \left ( \frac{1}{4};1 \right )[/tex] - там пресечните точки, респективно корените са два.

Нататък е ясно - при [tex]a\ge 1[/tex] пресечната точка на двете графики е отново една, т. е. [tex]a\in [1;+\infty)[/tex]

Окончателно: [tex]a\in (-\infty;-1)\cup \left \{ 0; \frac{1}{4} \right \} \cup [1;+\infty)[/tex]
_______________
[tex]^{*}[/tex] Гледаме за пресечните точки на зелената крива и червената права.
_______________
[tex]^{**}[/tex] Опитах да направя закачка с Nathi123, но не ми се получи. Предложих ѝ да реши уравнението при [tex]a=\frac{1}{2}[/tex],
а трябваше да я помоля да го реши при [tex]a=\frac{1}{4}[/tex]
И стигам до забележка към иначе чудесното ѝ решение. Трябваше да запазиш стила. Търсиш корените, добре! Но ги намери във всеки отделен случай. В последния това не е направено.

Чертеж четири.png (44.73 KiB) Прегледано 1055 пъти

Така щеше да откриеш и последното решение на задачата [tex]a=\frac{1}{4}[/tex]

[nelson88]

Много благодаря на всички!

[Nathi123]

Е моята закачка беше,че разглеждайки случая на деф. множество за х [tex]\in [2,3)\cup ( 3,\infty)[/tex] пропуснах да проверя,дали намереното х не е равно на 3! Обичам да се закачам с тези,които не си признават грешките! а =[tex]\frac{1}{2}[/tex] e грешен резултат ,а не закачка!