параметрични уравнения и неравенства

[Крисоко]

Малко помощ с маркираните задачки

mat3.jpg (154.63 KiB) Прегледано 651 пъти

mat2.jpg (173.98 KiB) Прегледано 651 пъти

[Добромир Глухаров]

$x^2+2(3a-1)x+12a^2-a-1=0$

Съкратената дискриминанта $D_1=(3a-1)^2-1.(12a^2-a-1)=9a^2-6a+1-12a^2+a+1=-3a^2-5a+2$

Формули на Виет: $\begin{array}{|l}x_1+x_2=-2(3a-1)\\x_1x_2=12a^2-a-1\end{array}$

Различни корени: $D_1>0$

С еднакви знаци: $x_1x_2>0$

$\Rightarrow\begin{array}{|l}-3a^2-5a+2>0\\12a^2-a-1>0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}(a+2)(3a-1)<0\\(3a-1)(4a+1)>0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}a\in(-2;\frac{1}{3})\\a\in(-\infty;-\frac{1}{4})\cup(\frac{1}{3};+\infty)\end{array}$

$a\in(-2;-\frac{1}{4})$

[Добромир Глухаров]

$f(x)=x^4+s^4x^2+s^4$

$min\ f(x)>1$

$f'(x)=4x^3+2s^4x=0\Leftrightarrow2x(2x^2+s^4)=0\Rightarrow x=0$

$f(0)=s^4>1\Leftrightarrow s\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$

[Добромир Глухаров]

$x^2-ax+2=0$

$D=a^2-8>0$

$x_{1,2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2-8}}{2}\in[0;3]$

$\begin{array}{|l}a^2-8>0\\0\leq\frac{a-\sqrt{a^2-8}}{2}\leq3\\0\leq\frac{a+\sqrt{a^2-8}}{2}\leq3\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}a\in(-\infty;-2\sqrt{2})\cup(2\sqrt{2};+\infty)\\a\geq\sqrt{a^2-8}\\a-\sqrt{a^2-8}\leq6\\a\geq-\sqrt{a^2-8}\\a+\sqrt{a^2-8}\leq6\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}a\in(-\infty;-2\sqrt{2})\cup(2\sqrt{2};+\infty)\\a\geq2\sqrt{2}\\\sqrt{a^2-8}\geq a-6\\a\geq2\sqrt{2}\\\sqrt{a^2-8}\leq6-a\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}a\in(2\sqrt{2};+\infty)\\a\in\mathbb{R}\\a^2-8\leq a^2-12a+36\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}a\in(2\sqrt{2};+\infty)\\a\leq\frac{11}{3}\end{array}\Leftrightarrow a\in(2\sqrt{2};\frac{11}{3}]$