Полиноми

[Mark]

Нека [tex]K[/tex] е безкрайно поле, и нека [tex]f[/tex] ,[tex]g[/tex] са полиноми от степен [tex]n[/tex].Да предположим, че съществуват различни елементи [tex]a_{1},a_{2}...a_{n+1}[/tex] в [tex]K[/tex] такива, че [tex]f(a_{i})=g(a_{i})[/tex] ([tex]i=1,2,...n+1)[/tex].Покажете, че [tex]f=g[/tex].

[nikko]

Нека [tex]f(x)=b_0x^n+b_1x^{n-1}+\dots+b_{n-1}x+b_n[/tex]
[tex]g(x)=c_0x^n+c_1x^{n-1}+\dots+c_{n-1}x+c_n[/tex]
Имаме [tex]f(a_i)=g(a_i)[/tex], т.е.
[tex]b_0a_i^n+b_1a_i^{n-1}+\dots+b_{n-1}a_i+b_n=c_0a_i^n+c_1a_i^{n-1}+\dots+c_{n-1}a_i+c_n\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a_i^n(b_0-c_0)+a_i^{n-1}(b_1-c_1)+\dots+a_i(b_{n-1}-c_{n-1})+b_n-c_n=0[/tex]
Считаме [tex]b_i-c_i\in K[/tex] за неизвестни и имаме хомогенна система n+1 линейни уравнения с n+1 неизвестни, като матрицата на системата е неособенна като матрица на Вандермонд с различни елементи. Тогава системата има единствено нулевото решение, т.е. [tex]b_i-c_i=0\Leftrightarrow b_i=c_i\Leftrightarrow f(x)\equiv g(x).[/tex]

[ganka simeonova]

Нека разгледаме полинома [tex]P=f-g[/tex].Ясно е, че най- високата възможна степен ще е n.
[tex]P(a_1)=f(a_1)-g(a_1)[/tex],...[tex]P(a_{n+1})=f(a_{n+1})-g(a_{n+1})[/tex].
Този полином приема нулеви стойности в n+1 числа, чиито брой е по- висок от степента на полинома. Тогава
[tex]P\equiv 0[/tex](Р е тъждестевен с нулевия полином)=>[tex]f=g[/tex]

[Mark]

Мерси за изчерпателните отговори...
Неможех да разбера, защо полинома [tex]P=f-g[/tex] е невъзможно да се дели от [tex](x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n+1})[/tex]

[nikko]

Мерси за изчерпателните отговори...
Неможех да разбера, защо полинома [tex]P=f-g[/tex] е невъзможно да се дели от [tex](x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n+1})[/tex]

Защото е разлика на два полинома от n-та степен, т.е. е също от степен n. Няма как да се дели полниом от степен n на полином от n+1-ва степен, освен ако първия полином не е тъждествено нула, което точно е писала и г-жа Симеонова.

[Mark]

Избягало ми е това, че най-високата степен на разликата им е [tex]n[/tex], докато делителя е от степен [tex]n+1[/tex] , мерси отново.