Две задачи с параметър

[AngelBloom]

зад 1. За кои стойности на реалния параметър a уравнението [tex]a2^{x}+2^{-x} = 5[/tex] има единствено решение. Аз го намирам [tex]а = \pm\frac{25}{4}k[/tex], където [tex]k\ge1[/tex]

зад 2. Намерете стойността на параметъра a, за която корените на уравнението [tex]x^{2}-2x-a^{2}+1=0[/tex]
лежат между корените на уравнението [tex]x^{2}-2(a+1)x+a(a-1)=0[/tex] Аз го намирам [tex]a=3[/tex]

[Davids]

1. Полагаме $t = 2^x > 0$ и получаваме $at^2 - 5t + 1 = 0$.
Да има единствено решение за $x$ означава новополученото уравнение да има само един положителен корен спрямо $t$.

I) сл.: $a = 0$
$\Rightarrow 0.t^2 - 5t + 1 = 0$
$t = \frac{1}{5}$ и условието е изпълнено. Значи имаме първо решение $a = 0$.

II) сл.: $a \ne 0$, но дискриминантата $D = 25 - 4a = 0$
$\Rightarrow a = \frac{25}{4}$

Обаче трябва да проверим дали за тази стойност на $a$ е изпълнено $t > 0$. В случая $t = \frac{5}{2a} = \frac{2}{5} > 0$, значи сме доволни. Още едно решение.

III) сл.: остана да проверим най-класическия случай - когато имаме едно положително и едно отрицателно $t$. Достатъчно условие това да е изпълнено е:
$af(0) < 0$
$\Rightarrow a.1 < 0$
$\Rightarrow a < 0$.

Окончателно решение на задачата би следвало да е $a \in (-\infty, 0]\cup\{\frac{25}{4}\}$

[Davids]

2. Корените на $x^2 - 2x - a^2 + 1 = 0$ са $x_1 = 1-a$ и $x_2 = 1 + a$. За да са тези корени разположени между корените на уравнението $f(x) = x^2 - 2(a+1)x + a(a-1) = 0$ е достатъчно и необходимо:

[tex]\begin{array}{|l} f(1-a) < 0 \\ f(1+a) < 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (1-a)^2 - 2(a+1)(1-a) + a(a-1) < 0 \\ (1+a)^2 - 2(a+1)(1+a) + a(a-1) < 0\end{array}[/tex]

Решаваш системата и би трябвало да получиш $a\in (-\frac{1}{4}, 1)$