Докажете тъждеството

[Гост]

мани.jpg (227.73 KiB) Прегледано 569 пъти

Здравейте, моля за ориенир за решаването на задачите от прикчения файл.
Благодаря предварително!

[Davids]

3) Привеждаме лявата част под общ знаменател и искаме да получим числител $4abc$. Започваме:
$a(1-b^2)(1-c^2) + b(1-a^2)(1-c^2) + c(1-a^2)(1-b^2) =$
$= a - a(b^2+c^2) + ab^2c^2 + b - b(a^2 + c^2) + a^2bc^2 + c - c(a^2 + b^2) + a^2b^2c =$
$= a + b + c - (ab^2+ac^2 + a^2b + bc^2 + a^2c + b^2c) + abc(ab + bc +ac) =$
$= a + b + c - (ab^2+ac^2 + a^2b + bc^2 + a^2c + b^2c) + abc =$
$= a + b + c - (ab^2+ac^2 + a^2b + bc^2 + a^2c + b^2c + 3abc) + 4abc =$
$= a + b + c - \Big[(ab^2 + b^2c + abc) + (a^2b + a^2c + abc) + (ac^2 + bc^2 + abc) \Big] + 4abc =$
$= a + b + c - \Big[b(ab+ bc + ac) + a(ab + ac + bc) + c(ac + bc + ab) \Big] + 4abc =$
$= a +b+c-(a+b+c) +4abc =$
$= 4abc$

[Евва]

2 зад. Дадено:
a+b+c=1
[tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]+[tex]c^{2}[/tex]=1
[tex]\frac{x}{a}[/tex]=[tex]\frac{y}{b}[/tex]=[tex]\frac{z}{c}[/tex]
Докажете ,че yx+yz+xz=0

Започваме от формулата [tex](a+b+c)^{2}[/tex]=2(ab+ac+bc)+([tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]+[tex]c^{2}[/tex])
1=2(ab+ac+bc)+1 |:2
ab+ac+bc=0 (1)

От [tex]\frac{x}{a}[/tex]=[tex]\frac{z}{c}[/tex] , [tex]\frac{y}{b}[/tex]=[tex]\frac{z}{c}[/tex] намираме x=[tex]\frac{az}{c}[/tex] и y=[tex]\frac{bz}{c}[/tex] (2)

yx+yz+xz=
yx+yz+xz=[tex]\frac{bz}{c}[/tex].[tex]\frac{az}{c}[/tex]+[tex]\frac{bz}{c}[/tex].z+[tex]\frac{az}{c}[/tex].z=

=[tex]\frac{abz^{2}}{c^{2}}[/tex]+[tex]\frac{bcz^{2}}{c^{2}}[/tex]+[tex]\frac{acz^{2}}{z^{2}}[/tex]=

=[tex]\frac{z^{2}(ab+bc+ac)}{c^{2}}[/tex]= ( прилагаме (1) )

=[tex]\frac{z^{2}.0}{c^{2}}[/tex]= 0