Въпрос

[skadevil]

Да се намерят всички стойности на параметъра p, при които уравнението [tex](8x)^{2} + (2^{\frac{1}{p}+7}-80)x+9=0[/tex] има точно едно решение.
За да има точно едно решение аз поставям D=0 като съответно [tex]t_{1 }[/tex] = [tex]t_{2 }[/tex] трябва да са >0 (t e това,което съм положил) и получавам за p = [tex]-\frac{1}{2}[/tex] ,което е и отговорът, но не трябва ли да има и още едно услови при което D>0 и [tex]t_{1 }[/tex]<0<[tex]t_{2 }[/tex]?

[S.B.]

Да се намерят всички стойности на параметъра p, при които уравнението [tex](8x)^{2} + (2^{\frac{1}{p}+7}-80)x+9=0[/tex] има точно едно решение.
За да има точно едно решение аз поставям D=0 като съответно [tex]t_{1 }[/tex] = [tex]t_{2 }[/tex] трябва да са >0 (t e това,което съм положил) и получавам за p = [tex]-\frac{1}{2}[/tex] ,което е и отговорът, но не трябва ли да има и още едно услови при което D>0 и [tex]t_{1 }[/tex]<0<[tex]t_{2 }[/tex]?

Хайде помисли си: ако е изпълнено [tex]D > 0 , t_{1 } < 0 <t_{2 } \Rightarrow t_{1 }.t_{2 } < 0[/tex], но според Виет $t_{1 }.t_{2 } = 9 > 0 $
Не зная как си решавал задачата,но аз разсъждавам така:
$(8x)^{2} + (2^{\frac{1}{p} + 7} - 80)x + 9 = 0 \Leftrightarrow (8x)^{2} + (2^{\frac{1}{p} + 4}.2^{3} - 2^{3}.10)x + 9 = 0\Leftrightarrow (8x)^{2} + (2^{\frac{1}{p} + 4} -10).(8x) + 9 = 0$
Полагам $8x = t$ и получавам $t^{2} + (2^{\frac{1}{p} + 4} - 10)t + 3^{2} = 0$
За да има точно един корен ще трябва да бъде точен квадрат:
$t^{2} \pm 2.3.t + 3^{2} = 0 \Leftrightarrow(t \pm 3)^{2} = 0$
Тогава $(2^{\frac{1}{p} + 4} + 10) = \pm 6$
1)
$2^{\frac{1}{p} + 4} - 10 = 6 \Leftrightarrow 2^{\frac{1}{p} + 4} = 16 \Leftrightarrow 2^{\frac{1}{p}}.2^{4} = 2^{4} \Leftrightarrow 2^{\frac{1}{p}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{p} = 0$ което е невъзможно;
2)
$2^{\frac{1}{p} + 4} - 10 = -6 \Leftrightarrow 2^{\frac{1}{p}}.2^{4} = 2^{2} \Leftrightarrow 2^{\frac{1}{p}} = 2^{- 2} \Rightarrow\frac{1}{p} = -2\Rightarrow p = - \frac{1}{2}$