Система

[skadevil]

1. Да се реши системата:
[tex]\begin{array}{|l} 2^{lg x} + 3^{lg y}= 5 \\ 2^{lg x}.2^{lg xy}= 4 \end{array}[/tex]
[tex]2^{lg x}.2^{lg xy}= 4[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]2^{(lg x + lg xy)}=2^{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex](lgx+lgxy) = 2[/tex] и дотук. Натам вече не знам

[Davids]

Само едно уточнение: $lgxy = lg(xy)$, предполагам, се има предвид, нали?

Иначе добре си стигнал. Една тънка подсказка: най-често много полезни при работата с логаритмични уравнения/неравенства са следните няколко подхода (избираш си спрямо нуждата):
- да преобразуваш отделни едночлени $b$ във формата $\log_a(a^b)$, където $a$ ти е основата на логаритъма (в случая 10);
- взимаш двете страни като експонента при основа $a$ (т.е. $b = c$ се превръща в $a^b = a^c$). Още познато като антилогаритмуване. Да се прилага с изключително внимание при неравенства!
- стандартното логаритмуване на двете страни, което предполагам, познаваш вече.

Аналогично, играейки си с логаритмите, можеш да си изведеш доста полезни преобразувания, но те вече са с по-частна употееба.

Та, имайки предвид тези еквивалентни преобразувания, можеш ли да се сетиш кое може да ти е полезно и как да продължиш?

[Гост]

Какъв е отговора?

[Davids]

Какъв е отговора?

Всъщност, това е добър въпрос. Частният случай с тази задача наистина малко понамирисва, сега като се опитах да го изкарам. Предният ми пост имаше за цел единствено да споделя малко интуиция.
Реално, системата в този си вид няма "хубаво" решение (изразимо в затворена форма чрез реални числа). Всъщност, решението е приблизително: $(x \approx 0.451373, y = \frac{100}{x^2})$. Но това са само апроксимации, които можем да получим с числови методи.

Ако премахнем този досаден $x$ от частта $\lg(xy)$ в условието, обаче, нещата хем че стават симетрични, хем много по-леки за решаване.

@skadevil откъде е задачата? Да не би ти да си я преписал грешно, или и оригиналното условие е такова?

[S.B.]

1. Да се реши системата:
[tex]\begin{array}{|l} 2^{lg x} + 3^{lg y}= 5 \\ 2^{lg x}.2^{lg xy}= 4 \end{array}[/tex]
[tex]2^{lg x}.2^{lg xy}= 4[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]2^{(lg x + lg xy)}=2^{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex](lgx+lgxy) = 2[/tex] и дотук. Натам вече не знам

Малка поправка:
[tex]lg xy = lg x + lg y \Rightarrow 2^{lg x}.2^{lg xy} = 4 \Leftrightarrow 2^{2lg x + lg y} = 2^{2} \Rightarrow 2lg x + lg y = 2[/tex]
И системата добива вида:
$\begin{array}{|l} 2^{lg x} + 3^{lg y} = 5 \\ 2lg x + lg y = 2 \end{array}$
Полагаш $lg x = u , lg y = v$
$\begin{array}{|l} 2^{u} + 3^{v} = 5 \\ 2u + v = 2 \end{array}$

Скрит текст: покажи

Напиши отговорите и от къде е задчата.Имам нещо предвид,но не съм сигурна!

[Davids]

Извинявам се за предния пост, изтървал съм един минус още в началото на сметките и през цялото време съм мъдрил друга задача... Системата наистина има две двойки решения, както е поставено условието, но мисля, че аналогично не би трябвало да са изразими в затворен вид. Не съм ги изследвал, може и да бъркам.
Но мнението ми, че ако изтървем единия $x$ във втория логаритъм в долното уравнение, системата става много по-"хубава", остава

[skadevil]

Това е задачата и е от конкурсна тема 24.07.2008 само това знам.

[Гост]

логаритмувай и двете у-я

[Гост]

Веднага след като обясниш как се логаритмува сбор каквото е първото у-ние

[Davids]

Това е задачата и е от конкурсна тема 24.07.2008 само това знам.

Знам, че вече веднъж обърках сметките по задачата, ама не мога да не отбележа, че дадените отговори не са съвместими с условието.
По-конкретно, отговорите съответстват на първото уравнение, но нито един от тях не е верен за второто уравнение.

[S.B.]

Това е задачата и е от конкурсна тема 24.07.2008 само това знам.

Знам, че вече веднъж обърках сметките по задачата, ама не мога да не отбележа, че дадените отговори не са съвместими с условието.
По-конкретно, отговорите съответстват на първото уравнение, но нито един от тях не е верен за второто уравнение.

И аз стигнах до този извод!
Според мен ,за да се получат тези отговори няма нужда от второто уравнение!
[tex]2^{lg x} + 3^{lg y} = 5 \Leftrightarrow 2^{lg x} + 3^{lg y} = 4 + 1[/tex]
1)$\begin{array}{|l} 2^{lg x} = 4 \\ 3^{lg y} = 1 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} lg x = 2\\ lg y = 0 \end{array} \Rightarrow x = 100,y = 1$

2)$\begin{array}{|l}2^{lg x} = 1 \\ 3^{lg y} = 4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} lg x = 0 \\ lg y = log_{3 }4 \end{array} \Rightarrow x = 1, y = 10^{log_{3 }4}$
Ама защо $5 = 1 +4$, а не $5 = 2 + 3$ на пример ?
И аз я мъдрих доста тази задача!А може би някой по- знаещ колега ще се произнесе...

[Davids]

Призовавам @КОРМОРАН и иницативата за стената на срама. Най-малкото, защото отговорите са грешни.

[Гост]

Веднага след като обясниш как се логаритмува сбор каквото е първото у-ние

защото трябва да е произведение

[KOPMOPAH]

Призовавам @КОРМОРАН и иницативата за стената на срама. Най-малкото, защото отговорите са грешни.

Явявам се законно призован! Подкрепям инициативата си за Стена на срама с мото "Не правете като тях да не станете за смях!".

Скрит текст: покажи

За задачата - по късно

[KOPMOPAH]

За да се получат посочените отговори системата трябва да изглежда така:$$\begin{array}{|l} 2^{\operatorname {lg}x} + 3^{\lg y} = 5 \\ 2^{\lg x} . 3^{\lg y}= 4 \end{array}$$
която си е съвсем прилична и не много сложна за решаване.

В конкретния случай вината може да е на словослагателя, техническия редактор, коректора и т.н. За стената на срама е издателството, публикувало сборника без да провери за такива грешки.

[Гост]

хайде сега реши по-интересните бонус задачи:
[tex]\begin{array}{|l} 2^{lgx}. 3^{lgy}= 5 \\ 2^{lgx}. 2^{lgxy}= 4 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2^{lgx}. 3^{lgy}= 5 \\ 2^{lgx}. 3^{lgxy}= 4 \end{array}[/tex]

[skadevil]

За да се получат посочените отговори системата трябва да изглежда така:$$\begin{array}{|l} 2^{\operatorname {lg}x} + 3^{\lg y} = 5 \\ 2^{\lg x} . 3^{\lg y}= 4 \end{array}$$
която си е съвсем прилична и не много сложна за решаване.

Ето го пълното решение на задачата
Благодаря много на всички за помощта!