Алгебра , Висша алгебра

[Гост]

1,Нека А, В и С са произволни множества. Докажете равенството
(A \ B) × C = (A × C) \ (B × C).
2, Нека α е равнина с фиксирана координатна система и М е множеството от всички триъгълници в α. Проверете дали ротацията р е релация на наредба или релация на еквивалентност, ако ∀ a, b ∈ M, (a, b) ∈ ρ ⇔ a ∼= b, т.е а и b са еднакви триъгълници.
3, Докажете, че множеството S = {a b
0 1 } : a, b ∈ IR} относно операцията умножение на матрици образува полугрупа с единица.
4,Докажете, че изображението ϕ : (IR∗+; ·) −→ (IR; +) дефинирано с ϕ(x) = ln x, ∀ x ∈ IR∗+ е изоморфизъм.
5,Докажете, че множеството G = {a0 + a1 cos ϕ : a0, a1 ∈ ZZ, ϕ−фиксирано} относно операцията събиране формира комутативна група.
6, Нека M = {A ∈ GLn(IR) : A на степен т = A на степен -1} Докажете, че множеството М е подргупа на GLn(R).

[Петър Евгениев]

1,Нека А, В и С са произволни множества. Докажете равенството
(A \ B) × C = (A × C) \ (B × C).
2, Нека α е равнина с фиксирана координатна система и М е множеството от всички триъгълници в α. Проверете дали ротацията р е релация на наредба или релация на еквивалентност, ако ∀ a, b ∈ M, (a, b) ∈ ρ ⇔ a ∼= b, т.е а и b са еднакви триъгълници.
3, Докажете, че множеството S = {a b
0 1 } : a, b ∈ IR} относно операцията умножение на матрици образува полугрупа с единица.
4,Докажете, че изображението ϕ : (IR∗+; ·) −→ (IR; +) дефинирано с ϕ(x) = ln x, ∀ x ∈ IR∗+ е изоморфизъм.
5,Докажете, че множеството G = {a0 + a1 cos ϕ : a0, a1 ∈ ZZ, ϕ−фиксирано} относно операцията събиране формира комутативна група.
6, Нека M = {A ∈ GLn(IR) : A на степен т = A на степен -1} Докажете, че множеството М е подргупа на GLn(R).

$$\log : \mathbb R^{*}_{> 0} \overset{\simeq}{\longrightarrow} \mathbb{R}$$ е хомоморфизъм на $(\mathbb{R_{>0}}^*,\cdot) < (\mathbb R^*,\cdot)$(всички обратими относно умножението строго положителни реални числа) и адитивната група на полето на реалните числа $(\mathbb R,+).$
Това е така, защото добре познатото равенство $\log (a.b) = \log a + \log b$ показва точно че логаритъма(естествен) запазва операциите между $\mathbb R_{>0}^*$ и $\mathbb R.$
Изображението е биекция. Най-лесно е да се досетим, че обратната и биекция е $\exp : \mathbb R \to \mathbb R^*_{>)}$ определена като $\exp(a) = e^a.$

Проверяваме, че $[\log \circ \exp](a) =\log(\exp(a))=\log(e^a)=a,$ за произволно $a \in \mathbb R.$ Следователно $\log \circ \exp = \operatorname{id}_{\mathbb R}.$
Аналогично $[\exp \circ \log](a) =\exp(\log(a))=e^{\log a}=a$ за произволно $a \in \mathbb R^*_{>0}.$ И значи $\exp \circ \log = \operatorname{id}_{\mathbb R^*}.$

Това доказа,че $\log$ е биекция с обратна биекция $\exp$ и следователно $\log$ е изоморфизъм на групи $(\mathbb R^* ,\cdot) \cong (\mathbb R,+).$