Неравенство

[skadevil]

Ще може ли малко помощ, че се заплетох
Да се реши неравенството [tex]2^{x}.9 ^{ \frac{x+1}{x} } \ge 108[/tex]

[mail_dinko]

На мен ми хрумва като уравнение само как да го реша
[tex]2^x . 3 ^ {2. \frac {x+1}{x}} = 2^2 . 3 ^3[/tex]
[tex]x=2[/tex]
[tex]2. \frac {x+1}{x} = 3 \Leftrightarrow 2x + 2 = 3x \Rightarrow x =2[/tex]
DM за x да се определи

[Гост]

u.PNG (27.29 KiB) Прегледано 425 пъти

[S.B.]

Ще може ли малко помощ, че се заплетох
Да се реши неравенството [tex]2^{x}.9 ^{ \frac{x+1}{x} } \ge 108[/tex]

Д.М. [tex]x \ne 0[/tex]

[tex]2^{x}. 9^{ \frac{x + 1}{x} } \ge 108 \Leftrightarrow 2^{x} 9^{1+ \frac{1}{x} } \ge 108 \Leftrightarrow 2^{x}.9. 9^{\frac{1}{x} } \ge 9.12 \Leftrightarrow 2^{x}. 3^{ \frac{2}{x} } \ge 2^{2} .3[/tex]

[tex]log_{2 }( 2^{x}. 3^{ \frac{2}{x} }) \ge log_{2 }( 2^{2}.3) \Leftrightarrow log_{2 } 2^{x} + log_{2 } 3^{ \frac{2}{x} } \ge log_{2 } 2^{2} + log_{2 }3 \Leftrightarrow x log_{2 }2 + \frac{2}{x} log_{2 }3 \ge 2 log_{2 }2 + log_{2 } 3[/tex]

[tex]x + \frac{2}{x}. log_{2 }3 \ge 2 + log_{2 }3[/tex]

Нека [tex]log_{2 }3 = a , log_{2 }3 \in (1 ; 2) \Rightarrow a \in (1;2)[/tex]

[tex]x + \frac{2a}{x} -2 - a \ge 0 \Leftrightarrow \frac{ x^{2} - (2 + a)x + 2a }{x} \ge 0 \Leftrightarrow x(x - 2)(x - a) \ge 0[/tex]

Като отчиташ,че [tex]a \in (1,2)[/tex] по метода на интервалите получаваш:[tex]x \in (0 ; a] \cup [2; + \infty)[/tex]

[tex]a = log_{2 }3 \Rightarrow x \in (0 ; log_{2 }3] \cup [2 ; + \infty )[/tex]