Да се намери параметъра :(

[skadevil]

Да се намерят реалните стойности на параметъра [tex]а[/tex] за които уравнението [tex]x+ \sqrt{x^{2}-x } =а[/tex] НЯМА решение Ще се радвам, ако някой даде насоки

[peyo]

Да се намерят реалните стойности на параметъра [tex]а[/tex] за които уравнението [tex]x+ \sqrt{x^{2}-x } =а[/tex] НЯМА решение Ще се радвам, ако някой даде насоки

Хм! Забавна задачка. Да помислим!

Начини да няма реални корени се сещам по 2 начина. Единия е лявата страна да има глобалем минимум или максимум. Тогава $a$ ще е отвъд. Другия начин е лявата страна да име прекъсване без реални стойности в дадем интервал. Тогава $a$ ще е този интервал.

Да видим първия начин с производна да намерим минимум или максимум:

In [37]: print(latex(diff(x+ sqrt(x**2-x ), x) ))
$\frac{x - \frac{1}{2}}{\sqrt{x^{2} - x}} + 1 = 0$

Изглежда прекалено сложно, да пробваме с lim:

[tex]\lim_{x \to \infty }x+ \sqrt{x^{2}-x } = \infty[/tex]

[tex]\lim_{x \to -\infty }x+ \sqrt{x^{2}-x } = \lim_{x \to -\infty }x( 1+ \sqrt{1-1/x }) = \lim_{x \to -\infty }x( 1+ \sqrt{1+0 }) = -\infty[/tex]

Ok, няма глобални екстремуми. Значи случай 2, трябва да има прекъсване някъде. Този квадратен корен $\sqrt{x^{2}-x } $ е най-подозрителен. Да видим кога:

$x^{2}-x <0 $
$x(x-1) <0 $

3 интервала тук:
[tex](-\infty, 0) > 0[/tex]
[tex](1, +\infty) > 0[/tex]
Остава този само който ни интересува:
[tex](0, 1) < 0[/tex]

Да видим стойностите на лявата част в краищата:

$0+ \sqrt{0^{2}-0 } = 0$
$1+ \sqrt{1^{2}-1 } = 1$

Така търсеното $а$ е от (0,1) не включително.

Може би още обаче трябва да покажем, че функцията е монотонна и няма локален екстремум някъде около нашия интервал, което може да направим с производната сигурно, която сигурно няма да има нули.

[Евва]

Получих а=[tex]\frac{1}{2}[/tex] .

[S.B.]

Да се намерят реалните стойности на параметъра [tex]а[/tex] за които уравнението [tex]x+ \sqrt{x^{2}-x } =а[/tex] НЯМА решение Ще се радвам, ако някой даде насоки

[tex]x + \sqrt{ x^{2} - x } = a \Leftrightarrow \sqrt{ x^{2} - x } = a-x[/tex]

За да няма решение трябва [tex]a - x < 0 \Leftrightarrow x > a[/tex]

[tex]( \sqrt{ x^{2} - x }) ^{2} = (a - x)^{2} \Leftrightarrow x^{2} - x = a^{2} - 2ax + x^{2} \Leftrightarrow a^{2} - 2ax + x = 0[/tex]

Разглеждам [tex]a^{2} - (2a - 1)x = 0 \Leftrightarrow (2a-1)x = a^{2}[/tex]

1)Нека [tex]2a - 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}[/tex]

Тогава [tex]0.x = \frac{1}{4}[/tex] или за [tex]a = \frac{1}{2}[/tex] няма решение

2)Нека [tex]2a - 1 \ne 0 \Rightarrow a \ne \frac{1}{2}[/tex]

Тогава [tex]x = \frac{ a^{2} }{2a - 1}[/tex]

Oт [tex]\begin{cases} x > a \\x = \displaystyle\frac{ a^{2} }{2a - 1} \end{cases} \rightarrow \displaystyle\frac{ a^{2} }{2a - 1}> a[/tex]

[tex]\frac{ a^{2} }{2a - 1} > a \Leftrightarrow \frac{ a^{2} }{2a - 1} - a > 0 \Leftrightarrow \frac{ a^{2} - 2 a^{2} + a }{2a - 1} > 0 \Leftrightarrow \frac{ a^{2} - a }{2a - 1} < 0 .... \Leftrightarrow 2a(a - 1)(a - \frac{1}{2} )< 0[/tex]

[tex]\Rightarrow a \in ( - \infty ; 0) \cup ( \frac{1}{2};1)[/tex]

От [tex]\begin{cases} а \in (- \infty; 0) \cup (\displaystyle \frac{1}{2} ;1)\\ a =\displaystyle \frac{1}{2} \end{cases} \rightarrow a \in (- \infty; 0) \cup [\displaystyle \frac{1}{2} ; 1)[/tex]

[skadevil]

Благодаря много за подробното и ясно решение !!!

[peyo]

Да се намерят реалните стойности на параметъра [tex]а[/tex] за които уравнението [tex]x+ \sqrt{x^{2}-x } =а[/tex] НЯМА решение Ще се радвам, ако някой даде насоки

...

Начини да няма реални корени се сещам по 2 начина. Единия е лявата страна да има глобалем минимум или максимум. Тогава $a$ ще е отвъд. Другия начин е лявата страна да име прекъсване без реални стойности в дадем интервал. Тогава $a$ ще е този интервал.

Да видим първия начин с производна да намерим минимум или максимум:

In [37]: print(latex(diff(x+ sqrt(x**2-x ), x) ))
$\frac{x - \frac{1}{2}}{\sqrt{x^{2} - x}} + 1 = 0$

Изглежда прекалено сложно, да пробваме с lim:

[tex]\lim_{x \to \infty }x+ \sqrt{x^{2}-x } = \infty[/tex]

[tex]\lim_{x \to -\infty }x+ \sqrt{x^{2}-x } = \lim_{x \to -\infty }x( 1+ \sqrt{1-1/x }) = \lim_{x \to -\infty }x( 1+ \sqrt{1+0 }) = -\infty[/tex]

Ok, няма глобални екстремуми.

Опс! Тук имам грешка и цялото ми решение е невалидно. Горния lim не е правилно изчислен. Верния отговор е:

[tex]\lim_{x \to -\infty }x+ \sqrt{x^{2}-x } = 1/2[/tex]

Само, че нещо в момента не се сещам как се намира.

Както и да е, това ознзчзва, че лявата страна всъщност има глобален минимум.

[pal702004]

Опс! Тук имам грешка и цялото ми решение е невалидно. Горния lim не е правилно изчислен. Верния отговор е:

[tex]\lim_{x \to -\infty }x+ \sqrt{x^{2}-x } = 1/2[/tex]

Само, че нещо в момента не се сещам как се намира.

$\lim_{x\to \infty} \sqrt{x^2+x}-x=\lim_{x\to \infty} \dfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=$

$=\lim_{x\to \infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim_{x\to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac 1 x}+1}=\dfrac 1 2$