Множества

[Гост]

Докажете, че (0,1)U(0,1/2)U(0,1/3)...=(0,1)

[nikola.topalov]

Нека [tex]S_n=\left(1,\dfrac{1}{n}\right)[/tex]. Искаме да покажем, че [tex]\bigcup_{n\in\mathbb{N}} S_n=(0,1)[/tex]. Нека [tex]x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}} S_n[/tex]. Тогава [tex]x\in \left(1,\dfrac{1}{n}\right)[/tex] за някакво [tex]n>1[/tex]. Оттук съобразяваме, че [tex]0<x<1[/tex], откъдето и [tex]\bigcup_{n\in\mathbb{N}} S_n\subset (0,1)[/tex]. Нека сега предположим, че [tex]x\in(0,1)[/tex]. Понеже [tex]S_1=(0,1)[/tex], то очевидно [tex]x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}} S_n[/tex]. Това показва, че [tex](0,1)\subset\bigcup_{n\in\mathbb{N}} S_n[/tex] и следователно [tex]\bigcup_{n\in\mathbb{N}} S_n=(0,1)[/tex].

[nikola.topalov]

Нека [tex]S_n=\left(1,\dfrac{1}{n}\right)[/tex]...

Исках да кажа [tex]S_n=\left(0,\dfrac{1}{n}\right)[/tex] и [tex]x\in\left(0,\dfrac{1}{n}\right)[/tex].