модулно квадратно Неравенство с параметър

[Гост]

Решете неравенството :

|x^2 - x - 2|>(или равно) на ''a''

[ammornil]

Решете неравенството : |x^2 - x - 2|>(или равно) на ''a''

Виждам, че няма предложени решения повече от седмица. Аз предлагам решението по-долу, с уговорката, че модулите не са ми силна страна и може да има пропуск в изследването.

[tex]|x^{2} - x - 2|\ge a[/tex]

Величината в модул е квадратна функция на x, следователно можем да намерим стойностите на х, в които функцията има стойност нула, както и интервалите в които има строго положителна или строго отрицателна стойност. За да направим това, трябва да намерим "нулите" на израза и да определим изменението на функцията в модула спрямо тези стойности.
[tex]D_{1}=(-1)^{2}-4.1.(-2)=9 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=-1 \\ x_{2}=2\end{cases}[/tex]
[tex]f(x)= x^{2} - x - 2=1.(x+1)(x-2) \Rightarrow \begin{cases} x \in (- \infty,-1] \cup [2,+ \infty ) \Rightarrow f(x) \ge 0 \\ x \in (-1,2) \Rightarrow f(x)<0 \end{cases}[/tex]

Знаем, че независимо от знака на величината в модул, стойността на модулът е винаги неотрицателна. Тогава (1случай) за [tex]a \le 0 \Rightarrow \forall x \in R[/tex] е решение.

По-сложно е изследването на неравенството когато [tex]a>0[/tex]. В този случай разкриваме модулът за всеки от горе-намерените интервали.

(2 случай) [tex]a>0, x \in (- \infty,-1] \cup [2,+ \infty ) \Rightarrow f(x) \ge 0 \Rightarrow x^{2} - x - 2 \ge a \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 -а \ge 0 \Leftrightarrow x^{2} - x - (a+2) \ge 0[/tex]
Дискриминанта на така получения израз е: [tex]D_{2}=(-1)^2-4.1.[-(a+2)]=1+4a+8=4a+9[/tex].
Понеже [tex]a>0[/tex] тогава [tex]4a+9>0 \Rightarrow[/tex] [tex]x_{3,4}=\frac{1\pm\sqrt{4a+9}}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_{3}=\frac{1-\sqrt{4a+9}}{2} \\ x_{4}=\frac{1+\sqrt{4a+9}}{2} \end{cases}[/tex]
Сега трябва да намерим за кои стойности на а>0, така намерените хиксове са в интервала на случай 2: [tex]x_{3} \in (- \infty,-1] \cup [2,+ \infty ) \cup x_{4} \in (- \infty,-1] \cup [2,+ \infty )[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a>0 \\ \frac{1-\sqrt{4a+9}}{2} \le -1 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a>0 \\ \frac{1-\sqrt{4a+9}}{2} \ge 2 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a>0 \\ \frac{1+\sqrt{4a+9}}{2} \le -1 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a>0 \\ \frac{1+\sqrt{4a+9}}{2} \ge 2 \end{array} \Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} a>0 \\ -\sqrt{4a+9} \le -3 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a>0 \\ -\sqrt{4a+9} \ge 3 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a>0 \\ \sqrt{4a+9} \le -3 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a>0 \\ \sqrt{4a+9} \ge 3 \end{array}[/tex]
[tex][/tex]
[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} a>0 \\ 4a+9 \le 9 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a>0 \\ 4a+9 \ge 9 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a>0 \\ 4a+9 \le 9 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a>0 \\ 4a+9 \ge 9 \end{array}[/tex]
Първата и третата система нямат решения, а втората и четвъртата имат решение за всяко а>0.
Тогава от случай 2 имаме за [tex]a>0 \Rightarrow x \in \left( -\infty, \frac{1-\sqrt{4a+9}}{2} \right] \cup \left[ \frac{1+\sqrt{4a+9}}{2},+ \infty \right)[/tex]

(3 случай) [tex]a>0, x \in (-1,2) \Rightarrow f(x) < 0 \Rightarrow -(x^{2} - x - 2) \ge a \Rightarrow x^{2} - x - 2 \le a \Leftrightarrow x^{2} - x - 2-a \le 0[/tex]
Дискриминанта на така получения израз е: [tex]D_{3}=(-1)^2-4.1.[-(a+2)]=1+4a+8=4a+9[/tex].
Понеже [tex]a>0[/tex] тогава [tex]4a+9>0 \Rightarrow[/tex] [tex]x_{5,6}=\frac{1\pm\sqrt{4a+9}}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_{5}=\frac{1-\sqrt{4a+9}}{2} \\ x_{6}=\frac{1+\sqrt{4a+9}}{2} \end{cases}[/tex]
Сега трябва да намерим за кои стойности на а>0, така намерените хиксове са в интервала на случай 3: [tex]x_{5} \in (-1,2) \cup x_{6} \in (-1,2)[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a>0 \\ \frac{1-\sqrt{4a+9}}{2} > -1 \\ \frac{1-\sqrt{4a+9}}{2} < 2 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a>0 \\ \frac{1+\sqrt{4a+9}}{2} > -1 \\ \frac{1+\sqrt{4a+9}}{2} <2 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a>0 \\ -\sqrt{4a+9}> -3 \\ -\sqrt{4a+9} < 3 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a>0 \\ \sqrt{4a+9} > -3 \\ \sqrt{4a+9} <3 \end{array} \Rightarrow[/tex] в този случай никоя система няма реални решения.

Окончателно получаваме следния отговор.
За [tex]a\le 0 \Rightarrow \forall x \in R[/tex] .
За [tex]a>0 \Rightarrow x \in \left( -\infty, \frac{1-\sqrt{4a+9}}{2} \right] \cup \left[ \frac{1+\sqrt{4a+9}}{2},+ \infty \right)[/tex]

[Гост]

Благодаря за решението , прегледах го..
само където 3.случай , мисля че става x^2-x+a-2 <или равно на 0
и там Дискриминантата става 9-4/a ?

[ammornil]

Благодаря за решението , прегледах го..
само където 3.случай , мисля че става x^2-x+a-2 <или равно на 0
и там Дискриминантата става 9-4/a ?

Да, правилно. Сгрешил съм като не съм сменил и знака на "а". Отлична забележка!

Случай 3) [tex]a>0, x\in(-1,2) \Rightarrow f(x)<0 \Rightarrow −(x^{2}-x-2)\ge a \Leftrightarrow x^{2}-x-2 +a \le 0[/tex]
[tex]D=(-1)^{2}-4.1.(a-2)=1-4a+8 = 9-4a[/tex]
[tex]Da: \begin{array}{|l} a>0 \\ 9-4a>0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a>0 \\ a<2\frac{1}{4} \end{array} \Rightarrow a \in \left(0;2\frac{1}{4} \right)[/tex]

И следва провека дали хиксовете в този случай са в отворения интервал от -1 до 2...