Опростете израза

[Гост]

[tex](a+ \sqrt{ a^{2 } -1}) ^{7 }+(a-\sqrt{ a^{2 } -1}) ^{7 }[/tex]

[S.B.]

[tex](a+ \sqrt{ a^{2 } -1}) ^{7 }+(a-\sqrt{ a^{2 } -1}) ^{7 }[/tex]

Може да се направи следното:
[tex]a + \sqrt{ a^{2 } -1 } = A[/tex]
Тогава
[tex]a - \sqrt{ a^{2 } - 1} = \frac{(a - \sqrt{ a^{2 } - 1 })(a + \sqrt{ a^{2 } - 1 } )}{a + \sqrt{ a^{2 } - 1 } } = \frac{ a^{2 } - a^{2 } + 1}{a + \sqrt{ a^{2 } - 1} } = \frac{1}{A}[/tex]
И сега изразът ще изглежда така:
[tex]А^{7 } + \frac{1}{ А^{7 } } = \frac{ А^{14 } + 1}{ А^{7 } } = \frac{ (a + \sqrt{ a^{2 } - 1 }) ^{14 } + 1 }{ (a + \sqrt{ a^{2 } - 1 }) ^{7 } }[/tex]
Но не виждам нещо друго смислено,което може да се направи... Да се използват формулите за съкратено умножение е мазохизъм!Може би някой от колегите има идея...

[Nathi123]

Нека х = a + [tex]\sqrt{a ^{2 }-1 } ; y = a -\sqrt{a ^{2 }-1 }[/tex].Тогава М= ( a + [tex]\sqrt{a ^{2 }-1 } )^{7 }+(a -\sqrt{a ^{2 }-1 }) ^{7 }= x^{7 }+y ^{7 }[/tex]
M=(x+y)([tex]x^{6 }- x^{5 }y+ x^{4 }y ^{2 }-x ^{3 }y ^{3 }+ x^{2 } y ^{4 }-xy ^{6 }+y ^{6 } \Rightarrow[/tex]
[tex]M=(x+y)[(( x^{2 }) ^{3 }+(y ^{2 }) ^{3 })-xy( x^{4 }+y ^{4 } )+ x^{2 }y ^{2 }( x^{2 }+y ^{2 })- x^{y }y ^{3 } ][/tex]
x+y=2a;xy=1; [tex]x^{2 }+y ^{2 }=(x+y) ^{2 } -2xy=4a ^{2 }-2; x^{4 }+y ^{4 }=( x^{2 }+y ^{2 }) ^{2 }-2 x^{2 }y ^{2 }=(4a ^{2 }-2) ^{2 }-2=16a ^{4 }-16a ^{2 } +2[/tex]
M= [tex]x^{6 }+y ^{6 }=( x^{2 }+y ^{2 })(x ^{4 }- x^{2 } y ^{2 }+y ^{4} =(4a ^{2 }-2)[(4a ^{2 }-2) ^{2 }-3]=(4a ^{2 }-2)(16a ^{4 }-16a ^{2 }+1)[/tex].
Предполагам ,че нататък Гост може сам да преобразува и да получи М = ?

[Гост]

binomna formula