Брой на корени на уравнение

[nikola.topalov]

Да се намери броят на реалните корени на уравнението [tex]\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{4}{5}x-\dfrac{1}{3}=0[/tex].

[nikola.topalov]

Ще кача и примерно мое решение:

Скрит текст: покажи

Функцията [tex]f(x)=\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{4}{5}x-\dfrac{1}{3}[/tex] е дефинирана за [tex]\forall x[/tex]. Намираме първата производна на функцията [tex]f'(x)=\dfrac{1}{3}x^3+2x^2+3x+\dfrac{4}{5}[/tex], а оттук и нейната втора производна [tex]f''(x)=x^2+4x+3[/tex], която се анулира в точките [tex]x=-3[/tex] и [tex]x=-1[/tex]. Тогава [tex]f'(x)[/tex] е растяща в [tex](-\infty,-3)\cup(-1,+\infty)[/tex] и намаляваща в [tex](-3,-1)[/tex]. Това означава, че [tex]f'_{\max}(x)=f'(-3)=\dfrac{4}{5}[/tex] и аналогично [tex]f'_{\min}(x)=f'(-1)=-\dfrac{8}{15}[/tex]. Тъй като [tex]f'(x)[/tex] е непрекъсната и [tex]\lim\limits_{x\to -\infty}f'(x)=-\infty[/tex], то следователно [tex]\exists x_1'\in(-\infty,-3):f'(x_1')=0[/tex] според теоремата на Болцано. Аналогично показваме съществуването на корените [tex]x_2'[/tex] и [tex]x_3'[/tex] съответно в интервалите [tex](-3,-1)[/tex] и [tex](-1,+\infty)[/tex]. Но [tex]f'(0)>0[/tex], [tex]f(-2)>0[/tex] и [tex]f(-4)<0[/tex]. Следователно [tex]x_1'\in(-4,-3)[/tex], [tex]x_2'\in(-2,-1)[/tex] и [tex]x_3'\in(-1,0)[/tex]. Имаме, че [tex]f(x)[/tex] е растяща в [tex](x_1',x_2')\cup(x_3',+\infty)[/tex] и намаляваща в [tex](-\infty,x_1')\cup(x_2',x_3')[/tex]. Понеже [tex]f(-4)<0[/tex] и [tex](-4,x_1')\subset (-\infty,x_1')[/tex], то значи [tex]f(x_1)<f(-4)<0[/tex]. Аналогично доказваме, че [tex]f(x_2)>0[/tex] и [tex]f(x_3)<0[/tex]. Пресмятаме [tex]\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty[/tex], което означава, че същестуват четири числа [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex], [tex]x_3[/tex] и [tex]x_4[/tex] съответно от интервалите [tex](-\infty,x_1)[/tex], [tex](x_1',x_2')[/tex], [tex](x_2',x_3')[/tex] и [tex](x_3',+\infty)[/tex], такива че [tex]f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)=0[/tex]. Окончателно уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има четири реални корена.

[vezni]

Разглеждаме $f(x)=\frac{1}{12}x^4+\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{4}{5}x-\frac 13$
От $f(-5)=\frac{23}{12}>0,f(-4)=-\frac{13}{15}<0,f(-2)=\frac{1}{15}>0,$
$f(0)=-\frac{1}{3}<0$ и $f(1)=\frac{163}{60}>0$ и непрекъснатостта на $f$
следва, че има реален корен във всеки от интервалите $(-5,-4),(-4,-2),(-2,0)$ и $(0,1)$.
От друга страна уравнението име не повече от 4 корена. Следователно то има точно 4 реални корена.