Модулно уравнение

[nikola.topalov]

Да се реши уравнението [tex]|x^2-x-6|=14-|x^2-x-20|[/tex].

[Евва]

Получавам х[tex]\in[/tex][ -4; -2 ][tex]\cup[/tex][ 3;5 ]

[S.B.]

Да се реши уравнението [tex]|x^2-x-6|=14-|x^2-x-20|[/tex].

Без заглавие - 2021-12-13T174309.853.png (201.07 KiB) Прегледано 377 пъти

[tex]| x^{2 } - x - 6| = 14 - | x^{2 } - x - 20|[/tex]
Д.М.[tex]x \in ( - \infty ; + \infty )[/tex]
[tex]A = x^{2 } - x - 6 = (x - 3)(x + 2)[/tex] се анулира за $x = -2$ и $x = 3$
[tex]B = x^{2 }-x - 20 = (x + 4)(x - 5)[/tex] се анулира за $x = -4$ и $x = 5$
По този начин Д.М. се разделя на $5$ подмножества както е показано на чертежа,а именно:
Д.М.1 : [tex]( - \infty ; - 4][/tex] ,
Д.М.2 : [tex][ - 4 , - 2][/tex],
Д.М.3: [tex][- 2, 3][/tex],
Д.М.4: [tex][3 , 5][/tex] и
Д.М.5: [tex][5,+ \infty )[/tex]
Уравнението се решава над всяко едно от множествата и отговорът е сечението на всички получени отговори:

[tex]\begin{array}{|l}x \in ( - \infty , -4] \\ ( x^{2 } - x - 6) = 14 - ( x^{2 } - x - 20) \end{array} \Leftrightarrow x^{2 } - x - 20 = 0 , x = -4[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}x \in [ - 4, - 2]\\ ( x^{2 } - x - 6) = 14 + ( x^{2 } - x - 20) \end{array} \Leftrightarrow 0.x = 0 \Rightarrow \forall x \in [ - 4, - 2][/tex] е решение

[tex]\begin{array}{|l}x \in [-2,3] \\ -( x^{2 } - x - 6) = 14 + ( x^{2 } - x - 20) \end{array} \Leftrightarrow x^{2 } - x - 6 = 0 , x_{1 } = -2 , x_{2 } = 3[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}x \in [ 3, 5] \\ ( x^{2 } - x - 6) = 14 +( x^{2 } - x - 20) \end{array} \Leftrightarrow 0.x = 0 \Rightarrow \forall x \in [3,5][/tex] е решение

[tex]\begin{array}{|l} x \in [5 , + \infty )\\ ( x^{2 } - x - 6) = 14 - ( x^{2 } -x - 20)\end{array} \Leftrightarrow x^{2 } - x - 20 =0 \Rightarrow x = 5[/tex]

$$x \in [- 4,- 2] \cup [ 3 , 5 ] $$

[Гост]

Няма ли друг,по-прост начин?!

[Гост]

tt.png (12.55 KiB) Прегледано 350 пъти

[Гост]

tt.png

И кое му е по-простото? Пак се разглеждат по-горните случаи, интервалите са същите, квадратните неравенства и т.н.