Едно многоо гадно неравенство

[Здравко 99]

20211217_153512.jpg (1.96 MiB) Прегледано 447 пъти

Не мога да реша това неравенство
Моля ви за помощ

[S.B.]

Какъв е отговорът?

[Гост]

standartni smetki

[nikola.topalov]

Допустимите стойности на неравенството са [tex]x\in(4,13)\cup(13,+\infty)[/tex]. Тогава със сигурност [tex]x-1>0[/tex], [tex]x+3>0[/tex] и [tex]x-4>0[/tex]. Следователно неравенството е еквивалентно на $$\dfrac{\log_2[8(x-4)(13-x)^2]}{(x-1)(11-x)}\geq 0$$ Числителят обаче не се анулира за хубави стойности на [tex]x[/tex], т.е. уравнението [tex]8(x-4)(13-x)^2=1[/tex] няма хубави корени. Нанасяме си числата [tex]4[/tex], [tex]11[/tex] и [tex]13[/tex] на числовата ос и виждаме къде кубичното уравнение има корени (ако изобщо има). Функцията [tex]f(x)=8(x-4)(13-x)^2-1[/tex] е непрекъсната. Тъй като [tex]\lim\limits_{x\to 4+\epsilon} f(x)=8\epsilon(9-\epsilon)-1<0[/tex] и [tex]\lim\limits_{x\to 11-\epsilon} f(x)=8(7-\epsilon)(2+\epsilon)^2-1>0[/tex], то значи [tex]\exists x_1\in(4,11):f(x_1)=0[/tex] според теоремата на Болцано. Аналогично показваме съществуването на корените [tex]x_2[/tex] и [tex]x_3[/tex] съответно в интервалите [tex](11,13)[/tex] и [tex](13,+\infty)[/tex]. И така с метода на интервалите установяваме, че решения на неравенството са [tex]x\in[x_1,11)\cup[x_2,13)\cup(13,x_3][/tex].

С Wolfram Alpha открих [tex]x_1\approx 4,0015[/tex], [tex]x_2\approx 12,881[/tex] и [tex]x_3\approx 13,117[/tex].

[S.B.]

[tex]\frac{ \log_{2 }[(x - 4) (13 - x)^{2 }.8] }{|(x - 1)(x + 3)| - 2|(x - 1)(x - 4)|}\ge 0[/tex]

Ще определя Д.М.:

[tex]\log_{2 }[(x - 4). (13 - x)^{2 } .8] =[/tex]
[tex]= \log_{2 }(x - 4) + \log_{2 } (13 - x)^{2 } + \log_{2 }8 =[/tex]
[tex]= \log_{2 } (x - 4) + 2 \log_{2 }(13 - x) + 3[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x - 4 > 0 \\ 13 - x > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x > 4 \\ x < 13 \end{array} \Rightarrow x \in (4 ; 13)[/tex]
За [tex]x \in (4 ; 13)[/tex] тричленът $(x - 1)(x + 3) > 0$ и тричленът $(x - 1)(x - 4) > 0$
[tex]|(x - 1)((x + 3)| - 2|(x - 1)(x - 4)| \Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) - 2(x - 1)(x - 4)[/tex]
[tex]\Rightarrow (x - 1)(x + 3 - 2x + 8) = (x - 1)(11 - x)[/tex]
[tex](x - 1)(11 - x) \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 , x \ne 11[/tex]
[tex]\begin{cases} x \in (4 ; 13) \\ x \ne 1\\x \ne 11 \end{cases} \Rightarrow x \in (4 ; 11) \cup (11;13)[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] Д.М. [tex]x \in (4 ; 11) \cup (11; 13)[/tex]

Разглеждам два случая:

[tex]\begin{array}{|l} \log_{2 }(x - 4) (13 - x)^{2 }.8 \ge 0 \\(x - 1)(11 - x) >0 \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} \log_{2 } (x - 4) (13 - x)^{2 }.8 \le 0 \\ (x - 1)(11 - x) < 0 \end{array}[/tex]

1)
[tex]\log_{2 }(x - 4) (13 - x)^{2 } \ge 0 \Leftrightarrow (x - 4)( 13 - x)^{2 }.8 \ge 1 \Leftrightarrow (x - 4) (13 - x)^{2 }.8 - 1 \ge 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]8x^{3 } - 240 x^{2 } + 2184x - 5409 \ge 0 \Leftrightarrow 8(x - 4,00154)(x - 12,8814)(x - 13,1171) \ge 0[/tex] (Според Волфрам)
[tex]\rightarrow x \in [4,00154;12,8814] \cup [13,1171 ; + \infty)[/tex]
От [tex](x - 1)(11 - x)>0 \rightarrow x \in (1 ; 11)[/tex]

От [tex]\begin{cases} x \in [4,00154 ; 12,8814] \cup [13,1171 ; + \infty )\\x \in (1 ; 11)\\Д.М. x \in (4;11) \cup (11 ; 13) \end{cases} \rightarrow x \in [4,00154; 11) \cup (11;13)[/tex]

2)
[tex]\begin{array}{|l} \log_{2 }(x - 4) (13 - x)^{2 }.8 \le 0 \\ (x - 1)(11 - x) < 0 \end{array}[/tex]
[tex]8(x - 4,00154)(x - 12,8814)(x - 13,1171) \le 0 \rightarrow x \in ( - \infty;4,00154] \cup [12,8814 ; 13,1171][/tex]
[tex](x - 1)(11 - x) < 0 \rightarrow x \in (- \infty ; 1) \cup (11; + \infty )[/tex]

[tex]\begin{cases} x \in ( - \infty ; 4,00154] \cup [12,8814 ; 13,1171]\\ x \in( - \infty;1) \cup (11 ; + \infty)\\Д.М. x \in (4;11) \cup(11;13) \end{cases} \rightarrow x \in [12,8814;13)[/tex]

Окончателно:

[tex]\begin{cases} x \in [4,00154;11) \cup (11;13) \\ x \in[12,8814;13) \end{cases} \Rightarrow x \in [4,00154;11) \cup [12,8814 ; 13)[/tex]