Уравнение

[nikola.topalov]

Да се реши уравнението $$\log_{\frac{5}{3}}(x^2+8x-9)+2\log_{\frac{3}{5}}(x)=\sin^2(2\pi x)+\csc^2(2\pi x)$$

[vezni]

Уравнението е дефинирано при $x>1,x\ne \frac{k}{2},k\in\mathbb{Z}$.
$\log_{\frac{5}{3}}(x^2+8x-9)+2\log_{\frac{3}{5}}x=\log_{\frac{5}{3}}(x^2+8x-9)+\log_{\frac{5}{3}}\frac{1}{x^2}=\log_{\frac 53}\frac{x^2+8x-9}{x^2}$.
След стандартно изследване на функцията, намираме
$\frac{x^2+8x-9}{x^2}\le\frac{25}{9}\Rightarrow \log_{\frac 53}\frac{x^2+8x-9}{x^2}\le 2$ с равенство само при $x=\frac 94$.
От неравенството между средно аритметично и геометрично имаме $\sin^2 2\pi x+\csc^2 2\pi x\ge 2\sqrt{\sin^2 2\pi x\csc^2 2\pi x}=2$, като равенство се достига само ако $\sin^2 2\pi x=1$.
Оттук следва, че единственото възможно решение е $x=\frac 94$. Проверяваме, че при $x=\frac 94, \sin^2 2\pi x=\sin^2\frac{\pi}{2}=1$.
Следователно $x=\frac 94$ е единственият корен.