Параметър

[Гост]

Да се намерят стойностите на параметъра k, за които корените на уравнението са по-големи от 2:
(k+2)x^2-(2k+1)x+k-3=0

[peyo]

Да се намерят стойностите на параметъра k, за които корените на уравнението са по-големи от 2:
(k+2)x^2-(2k+1)x+k-3=0

$\left( x_1 = \frac{2 k - \sqrt{8 k + 25} + 1}{2 \left(k + 2\right)}, x_2 =\ \frac{2 k + \sqrt{8 k + 25} + 1}{2 \left(k + 2\right)}\right) $

$x_1 > 2$

$\frac{2 k - \sqrt{8 k + 25} + 1}{2 \left(k + 2\right)} > 2$

$- \frac{2 k + \sqrt{8 k + 25} + 7}{2 k + 4} > 0 $

Първи да видим кога подкоренната стойност ще е положителна:

$8 k + 25 \ge 0$
$ k \ge - 25/8$

$ -3.125 \le k $

Сега връщаме се отново на неравенството, зада е изпълненто горе и долу трябва да имат различни знаци. Долу от $-3.125 \le k < -2$ стойността $2 k + 4$ е отрицателна, а горе за същия интервал $2 k + \sqrt{8 k + 25} + 7$ е положителлна. Всичко по-голямо от -2 и горе и долу е положително, значи не става, затова :

$x_1 > 2$ при ($-3.125 \le k < -2$)

Да видим другия корен:

$x_2>2$

$ \frac{2 k + \sqrt{8 k + 25} + 1}{2 \left(k + 2\right)} >2 $

$\frac{- 2 k + \sqrt{8 k + 25} - 7}{2 \left(k + 2\right)} > 0 $

За целия досега възможен интервал ($-3.125 \le k < -2$) долу е отрицателно. Тогава обръщаме знака:

$- 2 k + \sqrt{8 k + 25} - 7< 0 $

$\sqrt{8 k + 25} < 2 k + 7 $

$ 8 k + 25 < 4 k^{2} + 28 k + 49 $

$ 0 < 4 k^{2} + 20 k +24$

$k_1 = -3 , k_2 = -2$

Добре, нулите на квадратното уравнение са -3 и -2. Значи интервала който търсим в крайна сметка ще е едно от двете:
($-33 \le k < -2$) или ($-3.125 \le k < -3$). Да проверим за k = -2.5

$x_2(k=-2.5) = \frac{2 (-2.5)+ \sqrt{8 (-2.5) + 25} + 1}{2 \left((-2.5) + 2\right)} = 1.76393202250021$

E по-малко от 2, значи не става. Да проверим и последния интерввал, но ние вече знаем, че той ще е решението:
$x_2(k=-3.1) = \frac{2 (-3.1)+ \sqrt{8 (-3.1) + 25} + 1}{2 \left((-3.1) + 2\right)} = 2.16035745659093$

И така крайният отговор е:

($-3.125 \le k < -3$)

Да видим и графиката при $k = -3.07$

djhgsjdhghjsdfdgs.png (22.25 KiB) Прегледано 1437 пъти

Изглежда добре. А при $k = -2.5$

mjdfgkdjhfgkdjghd.png (22.21 KiB) Прегледано 1436 пъти

Не е добре. Значи сме познали отговора! Йей!