Граница

[Гост]

Може ли помощ за границата lim x->0 cos([tex]\sqrt{x}[/tex])^(1/x).

[Davids]

Ще се възползвам все пак да отбележа и алтернативния подход без Лопитал (само с основни граници) към интересната част:

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos\sqrt{x})}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1 + \cos\sqrt{x} - 1)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos\sqrt{x} - 1}{x} = -\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = -\frac{1}{2}$

Използвахме двете основни граници:

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

$\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

Решението на колегата, разбира се, е коректно и в много случаи по-удобно (силата на Лопитал, все пак).

[nikola.topalov]

Първо да отбележим, че границата не съществува при [tex]x\to 0^{-}[/tex]. Означаваме си $$L=\lim\limits_{x\to 0^{+}} \sqrt[x]{\cos \sqrt{x}}$$ След логаритмуване получаваме $$\ln L=\lim\limits_{x\to 0^{+}} \dfrac{\ln(\cos \sqrt{x})}{x}$$ откъдето след директно заместваме стигаме до неопределеност от вида [tex]\left[\dfrac{0}{0}\right][/tex]. Това означава, че можем да използваме правилото на Лопитал. Имаме $$L=\lim\limits_{x\to 0^{+}} \dfrac{[\ln(\cos \sqrt{x})]'}{x'}=\lim\limits_{x\to 0^{+}} \dfrac{-\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cos\sqrt{x}}=-\dfrac{1}{2}\lim\limits_{\substack{x\to 0^{+} \\ \sqrt{x}\to 0^{+}}}\dfrac{\tg\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=-\dfrac{1}{2}$$ Оттук след антилогаритмуване окончателно получаваме $$L=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$$