log x+(x-1)log x=6-2x

[Гост]

Как да реша това уравнени [tex]log_2^{2 }x+(x-1)log_2 x=6-2x[/tex]

[nikola.topalov]

Имаме да решим уравнението $$\log_2^2 x+(x-1)\log_2 x-6+2x=0$$ което е дефинирано за [tex]x>0[/tex]. Вижда се, че може да го решим като квадратно уравнение спрямо логаритъма. И така, след като използваме стандартната формула за корените на едно квадратно уравнение, стигаме до $$\log_2 x=\dfrac{1-x\pm |x-5|}{2}$$ За [tex]x>5[/tex] имаме $$\log_2 x=-2$$ откъдето намираме [tex]x=\dfrac{1}{4}\not >5[/tex], следователно не е решение. За [tex]0<x<5[/tex] получаваме уравнението $$\log_2 x=3-x$$ Очевидно [tex]x=2\in(0,5)[/tex] е корен, който се оказва и единствен, поради факта, че [tex]f(x)=\log_2 x[/tex] е растяща функция, а [tex]g(x)=3-x[/tex] е намаляваща.