Уравнение

[miroslavd]

Да се реши уравнението
$$2\log_2\left(\dfrac{x}{x-\sqrt{x-1}}\right)=x^{1-\cos(\pi x)}+1$$

[nikola.topalov]

Такъв тип уравнения си имаха специално име, което за жалост не помня (мисля, че бях качил едно подобно във форума) и те не могат да се решат чрез стандартните методи за решаване на едно уравнение. Вместо това лявата и дясната му страна се разглеждат като две отделни функции. Разбира се, първо ще определим множеството (ще си го означим с [tex]D[/tex]), в което уравнението е дефинирано. Имаме да решим неравенството $$\dfrac{x}{x-\sqrt{x-1}}>0$$ което е еквивалентно на $$\begin{array}{|l} x>0 \\ x>\sqrt{x-1} \end{array}\cup \begin{array}{|l} x<0 \\ x<\sqrt{x-1} \end{array}$$ Втората система няма решение, а от първата намираме [tex]x\geqq 1[/tex]. Следователно [tex]D=\{x\in\mathbb{R}|x\geqq 1\}[/tex]. Да си означим сега $$f(x):=2\log_2\left(\dfrac{x}{x-\sqrt{x-1}}\right)$$ и $$h(x):=\dfrac{x}{x-\sqrt{x-1}}$$ Първата производна $$h'(x)=\dfrac{2-x}{2\sqrt{x-1}(x-\sqrt{x-1})^2}$$ се анулира за [tex]x=2\in D[/tex], откъдето с метода на интервалите разбираме, че [tex]h(x)[/tex] е растяща в [tex](-\infty,2)[/tex] и намаляваща в [tex](2,+\infty)[/tex]. И така $$\max\limits_{x\in D} h(x)=h(2)=2$$ Понеже [tex]f(x)[/tex] е растяща функция, то $$\max\limits_{x\in D} f(x)=2\log_2\left (\max\limits_{x\in D} h(x)\right)=2$$ Следователно [tex]f(x)\leqq 2[/tex]. Да видим сега дясната страна на уравнението. Нека $$g(x):=x^{1-\cos(\pi x)}+1$$ Тъй като [tex]0\leqq 1-\cos(\pi x)\leqq 2[/tex] и [tex]x\geqq 1[/tex], то $$1\leqq x^{1-\cos(\pi x)}\leqq x^2$$ и след прибавяне на [tex]1[/tex] към неравенството намираме $$2\leqq x^{1-\cos(\pi x)}+1=g(x)\leqq x^2+1$$ т.е. [tex]g(x)\geqq 2[/tex]. Това означава, че уравнението [tex]f(x)=g(x)[/tex] може да има най-много един корен (да го кръстим [tex]x_0[/tex]), защото [tex]f(x)[/tex] има един локален максимум (който се оказва и глобален). За [tex]x_0[/tex] трябва да е изпълнено равенството [tex]f(x_0)=g(x_0)=2[/tex]. От [tex]f(x_0)=2[/tex] откриваме всъщност, че [tex]x_0=2\in D[/tex]. Добрата новина е, че и [tex]g(x_0=2)=2[/tex], следователно [tex]x=2[/tex] е единственото решение на уравнението.