Задача комбинация от признаци за делимост и множества

[Гост]

Търся решение :
Да се намери броят на числата, по-големи или равни на 300 и по-малки или равни на 900, които при деление на 8 дават остатък 3, при деление на 6 дават остатък 1 и са кратни на 9.

[peyo]

Търся решение :
Да се намери броят на числата, по-големи или равни на 300 и по-малки или равни на 900, които при деление на 8 дават остатък 3, при деление на 6 дават остатък 1 и са кратни на 9.

Забавна задача!

Да съставим уравнения:

x mod 8 = 3
x mod 6 = 1
x mod 9 = 0

Тук mod е оператор който връща частното при деление. Ще използваме формулата:
A mod B = C
=>
Bk = A + B - C

Така нашите mod уравнения стават
8i=x+8-3
6j=x+6-1
9k=x

x = 8i - 5
x = 6j - 5
x = 9k

8i - 5 = 6j - 5
9k = 6j - 5

8i = 6j
9k = 6j - 5

i = 6j/8 = 3j/4
k = (6j - 5)/9


И сега i ще бъде цяло когато j се дели на 4. А кога k ще бъде цяло? Когато 6j -5 се дели на 9. Но 6j де дели на 3 , а 6j -5 не се дели на 3. Значи не съществува такова j и задачата няма решение с което задачата е решена, въпреки, че няма решение.

[pal702004]

при деление на 6 дават остатък 1 и са кратни на 9.

Аха. А при делене на 3 какво да дава?

[ptj]

[tex]\forall k \in N: 3k\equiv k \equiv 0,1 \pmod 2 \Rightarrow 9k\equiv 0,3 \pmod 6[/tex]

т.е. всяко число, делящо се на 9, при деление с 6 дава остатък 0 или 3.

[Гост]

Благодаря!