Трансцендентно уравнение

[nikola.topalov]

Да се реши уравнението $$\log_{2}\left(\frac{x}{x-\sqrt{x-1}}\right)=x^{1-\cos(\pi x)}$$

[Гост]

ochevidno reshenie x=2

[Гост]

DM: x>1, [tex]x> \sqrt{x-1}[/tex]

[Davids]

Нека означим:

$f(x): [1, +\infty) \to \R, \,x \mapsto \frac{x}{x-\sqrt{x-1}}$

$g(x): [0, +\infty) \to \R, \,x\mapsto x^{1-\cos(\pi x)}$

Тогава търсим решенията на уравнението $\log_2f(x) = g(x)$. За да имаме въобще смисъл от уравнението, следва да ограничим променливата в сечението на дефиниционните области на двете функции. Понеже $f(x) > 0 \forall x\in D_f$ (от елементарни алгебрични съображения), то взимането на логаритъм не променя дефиниционната област на лявата страна и така въпросното сечение остава $x \in [1, +\infty)$.

Нека сега приложим малко аналитични съображения. Имаме
$f(x) = \frac{x}{x-\sqrt{x-1}}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{(x)'(x-\sqrt{x-1}) - x(x-\sqrt{x-1})'}{(x-\sqrt{x-1})^2} = \frac{x-\sqrt{x-1} - x\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\right)}{(x-\sqrt{x-1})^2} =\dots=\frac{2-x}{2\sqrt{x-1}(x-\sqrt{x-1})^2} $

Знаменателят ни е строго положителен (е, ако се абстрахираме от точката $x = 1$, която не е от интерес по ръба на ДО), така че само числителят ни носи промяната в знака. Виждаме, че:
- за $x \in [1, 2]$: $f'(x) > 0 \Rightarrow f$ нараства
- за $x \in [2, +\infty): f'(x) < 0 \Rightarrow f$ намалява.

Значи $\max\{ f(x)\} = f(2) = 2$ и оттам $\max\{\log_2f(x)\} = \log_22 = 1$.

От друга страна, разглежданията ни за $g(x)$ са дори по-прости. Имаме
$\cos(\pi x) \in [-1, 1]$
$\Rightarrow 1 - \cos(\pi x) \in [0, 2]$

И тъй като $x > 1$, то $\min\{g(x)\} = 1$ в точките, където $\cos(\pi x) = 1$, т.е. за $x = 2k, \, k\in \Z$.

И така единствения шанс двете ни функции да са равни е да се срещнат в единицата, което се случва само при $x = 2$ поради придирчивостта на $f$.

Полезно е човек да си послужи и с графичната престава за ситуацията: цък в Desmos

[Гост]

Bravo!

[nikola.topalov]

Браво и от мен! Страхотно решение.