Помощ уравнение

[Гост]

Може ли помощ за следното уравнение ([tex]x^{3 }[/tex]-x)[tex]\sqrt{4- x^{2 } }[/tex]=[tex]x^{4 }[/tex]-2[tex]x^{2 }[/tex]+2

[Гост]

kljuchovoto e da opredelish DM

[Гост]

DM: [tex]x( x^{2 }-1) \sqrt{(2-x)(2+x)} =( x^{2 }-1) ^{2 }+1[/tex] ponezhe djasnata strane e>0 za vsiako x[tex]\Rightarrow x \ne 0, \pm 1, \pm 2[/tex]
[tex]\sqrt{t+1}.t. \sqrt{(3-t)}= t^{2 } +1[/tex]
[tex]t^{2 }(3+2t-t ^{2 })= t^{4 }+2 t^{2 }+1[/tex]
[tex]2t ^{4 }-2t ^{3 } - t^{2 } +1=0[/tex]
[tex]2t ^{3 }(t-1)-(t-1)(t+1)=0[/tex]
[tex](t-1)(2t ^{3 } -t-1)=0[/tex]

[Гост]

kubichnoto ima reshenie t=1 i stava kvadratno po kvadratno

[nikola.topalov]

Горното решение ми даде идея. Ще започна все пак с това, че уравнението е дефинирано в множеството $$D=\{x\in\mathbb{R}|-2\leq x\leq 2\}$$ Очевидно $x=\pm 1$ не са решения, затова спокойно можем да разделим и двете страни на [tex]x^2-1[/tex], като по този начин получаваме уравнението $$x\sqrt{4-x^2}=\dfrac{x^4-2x^2+2}{x^2-1}$$ Да си означим $$f(x):=x\sqrt{4-x^2}$$ Първата производна $$f'(x)=\dfrac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$$ се анулира в точките [tex]x=\pm\sqrt{2}\in D[/tex]. Имаме, че [tex]f(x)[/tex] е растяща в [tex](-\sqrt{2},\sqrt{2})[/tex] и е намаляваща в [tex](-2,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},2)[/tex]. Оттук намираме $$\min\limits_{x\in D}f(x)=\min\{f(-\sqrt{2}),f(2)\}=f(-\sqrt{2})=-2$$ и съответно $$\max\limits_{x\in D}f(x)=\max\{f(-2),f(\sqrt{2})\}=f(\sqrt{2})=2$$ Нека сега $$g(x):=\dfrac{x^4-2x^2+2}{x^2-1}=\dfrac{1}{x^2-1}+x^2-1$$ От това преобразуване на функцията се вижда, че $g(x)\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$. От друга страна вече сме доказали, че [tex]f(x)\in[-2,2][/tex] и следователно ако съществуват решения на уравнението $f(x)=g(x)$,то те трябва да изпълняват $$f(x)=g(x)=2\cup f(x)=g(x)=-2$$ От първото уравнение си имаме намерен [tex]x=\sqrt{2}[/tex], а второто уравнение няма решения. Окончателно [tex]x=\sqrt{2}[/tex] е единствения реален корен на уравнението.

[Гост]

Благодаря!