Приятно параметрично уравнение

[nikola.topalov]

За кои стойности на реалния параметър [tex]m[/tex] уравнението $$(1-2m)x^3+x+m=0$$ има два отрицателни корена?

[Davids]

Един фрийстайл:

Нека $f(x) = (1-2m)x^3 + x + m$.
Тогава $f'(x) = 3(1-2m)x^2 + 1$.

За да има $f$ въобще два корена, значи има три (понеже полином от трета степен има или само един, или три реални корена). Щом ще има три корена, значи ще има два локални екстремума, сиреч $f'(x)$ ще искаме да си има двата отделни корена. Но понеже:
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{\frac{1}{3(2m-1)}}$

То оттук получаваме долната граница за $m$: $\boxed{m > \frac{1}{2}}$.

Можем за пълнота да споменем и че при $x = -\sqrt{\frac{1}{3(2m-1)}}$ имаме локален минимум, а при $x = \sqrt{\frac{1}{3(2m-1)}}$ имаме локален максимум... но това не е толкова интересно.

Сега се замисляме: двата екстремума са от двете различни страни на $O_y$, сиреч при хиксове с противоположни знаци. Това, което ни интересува живо, е, че имаме само един екстремум за $x < 0$.

Отделно забелязваме, че $f(0) = m > \frac{1}{2} > 0$, а пък $\lim_{x\to-\infty}f(x) = +\infty$, значи за да имаме два отрицателни корена на $f$ е напълно достатъчно просто:

$f\left(-\sqrt{\frac{1}{3(2m-1)}}\right) < 0$

Почваме да го разработваме:

$f\left(-\sqrt{\frac{1}{3(2m-1)}}\right) = (1-2m)\left(-\sqrt{\frac{1}{3(2m-1)}}\right)^3 - \sqrt{\frac{1}{3(2m-1)}} + m = \dots = m - \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3(2m-1)}} < 0$

Което е равносилно на:

$\frac{3}{2}m < \sqrt{\frac{1}{3(2m-1)}}$

И тук сега по-елегантно от това не ми хрумна:
Забелязваме, че лявата функция на $m$ е строго монотонно растяща, а дясната е строго монотонно намаляваща.
Равенство се достига при $m = \frac{2}{3}$, където и двете функции са единица.
Значи неравенството е в сила само при $\boxed{m \in \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)}$, което е и моят краен отговор на първоначалния въпрос в условието.

А дали авторът е имал нещо по-хитро предвид... може би той ще ни каже.

[nikola.topalov]

Бих Ви дал и [tex]100[/tex] точки, че някак си сте сметнали $$f\left(-\sqrt{\dfrac{1}{3(2m-1)}}\right)$$ Пък и отговорът е верен! Е, ами ще предложа и моето решение, но ще го скрия, за да може и други желаещи да се включат.

Скрит текст: покажи

Уравнението е еквивалентно на $$m=\dfrac{x^3+x}{2x^3-1}$$ разбира се след съображението, че [tex]x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}[/tex] не е корен. Правата [tex]m[/tex] е успоредна на абсцисната ос и всъщност трябва да видим къде [tex]m[/tex] пресича гафиката на функцията $$f(x)=\dfrac{x^3+x}{2x^3-1}$$ в две точки с отрицателни абсциси. Това ще стане, като онагледим горе-долу графиката на [tex]f(x)[/tex]. Първата производна $$f'(x)=-\dfrac{4x^3+3x^2+1}{(2x^3-1)^2}=\dfrac{(x+1)(-4x^2+x-1)}{(2x^3-1)^2}$$ се анулира в точката [tex]x=-1[/tex]. Имаме, че [tex]f(x)[/tex] е растяща в [tex](-\infty,-1)[/tex] и е намаляваща в [tex]\left(-1,\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}},+\infty\right)[/tex], т.е. при [tex]x=-1[/tex] имаме локален максимум, равен на [tex]\dfrac{2}{3}[/tex]. Имаме също така и две асимптоти - хоризонтална, която е [tex]y=\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac{1}{2}[/tex] и вертикална, която е [tex]x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}[/tex]. Графиката на [tex]f(x)[/tex] минава и през началото на координатната система и... ами май вече сме готови да я строим:

graph2.png (139.1 KiB) Прегледано 1483 пъти

Отговорът, който Davids е получил, вече се вижда и на графиката.