1.12.б) Докажете делимост на 9

[Людмил]

1.12.Б.jpg (6.51 KiB) Прегледано 1749 пъти

[Jack]

1.12.Б.jpg

По странен начин бих го доказал. Най-вероятно би се искало с математическа индукция, но понеже аз все още не владея тази тема ще се опитам да ти обясня начина, по който аз го доказах. Ако някой друг го е решил по-друг начин да го публикува, защото ще ми е интересно да видя друго решение.

За да се дели целия израз на $9$, то трябва сборовете и разликата от остатъците при деление на $9$, на $4^{n}, 15n$ и $1$ да се дели на $9$. Ясно е, че $1$ дава остатък $1$ при деление на $9$.

Сега разглеждаме остатъка при деление на $9$ при $4^{n}$.

$n = 1$ -> остатък $4$
$n = 2$ -> остатък $7$
$n = 3$ -> остатък $1$
$n = 4$ -> остатък $4$
$n = 5$ -> остатък $7$
$n = 6$ -> остатък $1$

Имаме последователност от остатъци - $(4, 7, 1)$. Следователно гледаме числа $n$, които се представят във вида $3k + x$, където $k$ е произволно неотрицателно цяло число, а $x$ е от $0$ до $2$.

Разглеждаме три случая:

Първи случай: $x = 0$
$4^{3k} + 15 \times 3k - 1$
Остатъци: $1 + 0 - 1 = 0$; $0$ се дели на $9$ [tex]\Rightarrow[/tex] в този случай изразът се дели на $9$.

Втори случай: $x = 1$
$4^{3k + 1} + 15 \times (3k + 1) - 1$
Остатъци: $4 + 6 - 1 = 9$; $9$ се дели на $9$ [tex]\Rightarrow[/tex] в този случай изразът се дели на $9$.

Трети случай: $x = 2$
$4^{3k + 2} + 15 \times (3k + 2) - 1$
Остатъци: $7 + 6 \times 2 - 1 = 18$; $18$ се дели на $9$

[tex]\Rightarrow[/tex] Доказахме, че $4^{n} + 15n - 1$ винаги се дели на $9$.

[nikola.topalov]

Ще докажем твърдението и с метод на математическата индукция. За [tex]n=1[/tex] имаме, че [tex]9|18[/tex], което е вярно. Допускаме, че за [tex]n=k[/tex] е изпълнено [tex]9|4^k+15k-1[/tex]. Ще докажем, че е изпълнено и за [tex]n=k+1[/tex]. И така след заместване получаваме [tex]9|4^{k+1}+15k+14[/tex]. Но [tex]4^{k+1}+15k+14=3\cdot 4^k+15+4^k+15k-1[/tex], тоест остава да докажем, че [tex]9|3\cdot 4^k+15[/tex], което е еквивалентно на твърдението [tex]3|4^k+5[/tex]. Нататък можеш ли сам?

[Людмил]

Ще докажем твърдението и с метод на математическата индукция. За [tex]n=1[/tex] имаме, че [tex]9|18[/tex], което е вярно. Допускаме, че за [tex]n=k[/tex] е изпълнено [tex]9|4^k+15k-1[/tex]. Ще докажем, че е изпълнено и за [tex]n=k+1[/tex]. И така след заместване получаваме [tex]9|4^{k+1}+15k+14[/tex]. Но [tex]4^{k+1}+15k+14=3\cdot 4^k+15+4^k+15k-1[/tex], тоест остава да докажем, че [tex]9|3\cdot 4^k+15[/tex], което е еквивалентно на твърдението [tex]3|4^k+5[/tex]. Нататък можеш ли сам?

Виждам, че и 4^k + 5 се дели на 3, но как ще го докажа? Ще приложа индукция в индукцията ли?

[grav]

[tex]4^n+15n-1 = 4\left(4^{n-1}+15(n-1)-1\right)-45(n-1)+18[/tex]

[Людмил]

[tex]4^n+15n-1 = 4\left(4^{n-1}+15(n-1)-1\right)-45(n-1)+18[/tex]

И какво доказахме с това?

[nikola.topalov]

Виждам, че и 4^k + 5 се дели на 3, но как ще го докажа? Ще приложа индукция в индукцията ли?

Ами, да. Реално задачата се сведе до доказване на твърдението, че [tex]3|4^k+5[/tex], което пак става с индукция. Качвам и доказателство, ако не успееш:

Скрит текст: покажи

За [tex]k=1[/tex] твърдението е вярно. Допускаме, че е изпълнено за [tex]k=p[/tex]. За [tex]k=p+1[/tex] имаме [tex]4\cdot4^p+5=3\cdot 4^p +4^p+5[/tex], което означава, че трябва [tex]3|3\cdot 4^p[/tex], а това вече е очевидно.

[pal702004]

И какво доказахме с това?

Че ако $f(n-1)$ се дели на 9, то и $f(n)$ също се дели, понеже $f(n)=4f(n-1)+9(5n-3)$ . Математическа индукция. Аз ще предложа малко екзотично решение - че

$g(n)=\dfrac{4^n+15n-1}{3}$ се дели на 3

$g(n)=\dfrac{4^n-1}{3}+5n$

Имаме сума на геом. прогресия

$g(n)=1+4+4^2+\cdots +4^{n-1}+5n$

И понеже $4^k \equiv 1 \pmod 3$ за всяко $k$, то $f(n)=n+5n=0 \pmod 3$

Ами, да. Реално задачата се сведе до доказване на твърдението, че $\displaystyle 3|4^k+5$, което пак става с индукция.

Е, за това не е необходима индукция. $4^k \equiv 1 \pmod 3$

[Гост]

Jack ne mislish li 4e si prekaleno malyk za tozi forum? Tozi forum ne e za malki lapeta kato teb?