Докажете ,че

[Евва]

Дадено : a ,b ,c [tex]\in[/tex]R a+b+c=0 и [tex]a^{2 } +b^{2}+c^{2}[/tex]=1 .

Докажете ,че [tex]a^{4 } +b^{4}+c^{4}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] .

Скрит текст: покажи

Търси се най-елегантното решение .

[Genie_Almo]

Дадено : a ,b ,c [tex]\in[/tex]R a+b+c=0 и [tex]a^{2 } +b^{2}+c^{2}[/tex]=1 .

Докажете ,че [tex]a^{4 } +b^{4}+c^{4}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] .

Скрит текст: покажи

Търси се най-елегантното решение .

Е, нищо елегантно не ми хрумна. Затова го карам като глиган в люцерна.

$ 0^2 = (a+b+c)^{2 } = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 1+ 2(ab+bc+ca) => ab+bc+ca = - \frac{1}{2} $

Повдигаме последното на втора степен:

$ \frac{1}{4} = (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2(ab^2c+abc^2+a^2bc) = (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 + 2abc(a+b+c) = (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2$

$ => \frac{1}{4} = (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2$

Сега правим следното:

$ 1^2 = (a^2+b^2+c^2)^{2} = a^4+b^4+c^4 + 2((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2) => 1= a^4+b^4+c^4 + 2*\frac{1}{4} => a^4+b^4+c^4 = \frac{1}{2}$

[peyo]

Дадено : a ,b ,c [tex]\in[/tex]R a+b+c=0 и [tex]a^{2 } +b^{2}+c^{2}[/tex]=1 .

Докажете ,че [tex]a^{4 } +b^{4}+c^{4}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] .

Скрит текст: покажи

Търси се най-елегантното решение .

Аз се чудех какво може да бъде елегантно решение и се сетих, е ако заместим a,b,c със x,y,z то имаме 3 мерна координатна система. Тогава първото уравнение е равнина която минава през О(0,0,0), второто уравнение е сфера с радиус 1 и център О. Тогава сечението на тези е пространствена окръжност с център О и малко наклонена като пръстените на Сатурн. Но 3-тото уравнение не ми прилича на пространствена окръжност сякаш.

[ptj]

Всъщност доказателството показва, че квадратите на координатите на решението също лежат върху сфера.