Да се докаже,че ако:

[S.B.]

[tex]a,b,c \in R[/tex] и
$a + b + c = 0$ ,то
$$a^{3 } + b^{3 } + c^{3 } = 3abc $$

[Jack]

[tex]a,b,c \in R[/tex] и
$a + b + c = 0$ ,то
$$a^{3 } + b^{3 } + c^{3 } = 3abc $$

Повдигаме $(a+b+c)^{3} = a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+6abc+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}$.

$a^{3}+b^{3}+c^{3} = (a+b+c)^{3} - (3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+6abc+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}) = (a+b+c)^{3} - 3(a+b)(a+c)(b+c) = (a+b+c)^{3} - 3(0-c)(0-b)(0-a) = (a+b+c)^{3} - 3(-c)(-b)(-a) = (a+b+c)^{3} + 3abc = 0 + 3abc = 3abc$

[nikola.topalov]

Достатъчно е да се досетим, че $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

[Genie_Almo]

$a^3+b^3+c^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3 = (a+b)((a+b)^2-3ab)+c^3=(-c)(c^2-3ab)+c^3= -c^3+3abc+c^3=3abc$