Двоен корен

[S.B.]

Ако [tex]a^{3 } + b^{3 } + c^{3 } = 3abc[/tex] и [tex]a + b + c \ne 0[/tex] ,където [tex]a, b, c \in R[/tex] ,да се докаже,че уравнението:
$$a x^{2 } + 2bx + c = 0$$
има двоен корен.

[pal702004]

Достатъчно е да се досетим, че $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

Откъдето $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$, което е възможно само при $a=b=c$

$(a^2+b^2 \ge 2ab \cdots)$

[Гост]

Ако [tex]a^{3 } + b^{3 } + c^{3 } = 3abc[/tex] и [tex]a + b + c \ne 0[/tex] ,където [tex]a, b, c \in R[/tex] ,да се докаже,че уравнението:
$$a x^{2 } + 2bx + c = 0$$
има двоен корен.

Какво ще рече двоен корен?

[pal702004]

Какво ще рече двоен корен?

Че има два съвпадащи корена. $x_1=x_2,\;\; D=0\cdots $

[S.B.]

Задачата е публикувана в "Ръководство и задачи по математика за ученици и кандидат - студенти" с автори Стефан Копрински и Любен Топалов,1992 г.
След като отделих доста време за тази задача,реших да я предложа на колегите от форума.
От условието,че :[tex]a,b,c \in R[/tex] и
[tex]\begin{cases} a^{3 }+ b^{3 } + c^{3 } = 3abc \\ a + b + c \ne 0\end{cases} \rightarrow a \ne 0,b \ne 0 ,c \ne 0[/tex]
Трябва да се докаже,че квадратното уравнението с коефициенти $a,b,c$ : [tex]ax^{2 } + 2bx + c = 0[/tex] има двоен корен.
На пръв поглед - нищо особено!Трябва да се докаже,че [tex]D = 4b^{2 } - 4ac = 4( b^{2 } - ac) = 0 \Rightarrow b^{2 } - ac = 0[/tex]

[tex]a^{3 } + b^{3 } + c^{3 } = 3abc \Leftrightarrow ( a^{3 } - abc) + ( b^{3 } - abc) + ( c^{3 } - abc) = 0 \Leftrightarrow a( a^{2 }- bc) + b( b^{2 } - ac) + c( c^{2 } -ab) = 0[/tex]
Като знаем вече ,че [tex]a \ne 0 , b \ne 0 ,c \ne 0[/tex] остава,че [tex]( a^{2 } - bc) = 0 , ( b^{2 }- ac) = 0 , ( c^{2 } - bc) = 0[/tex]
или,че [tex]a ^{2 } + b^{2 } + c^{2 } - ac - bc - ab = 0[/tex]

Това решава проблема,но при условие,че $a = b= c$ ,каквото не е зададено.
Според мен или условието е непълно или е трябвало да бъде формулирано по следния начин:

Да се определи при какво условие уравнението [tex]ax^{2 } + 2bx + c = 0[/tex] , би имало двоен корен

[Genie_Almo]

Задачата е публикувана в "Ръководство и задачи по математика за ученици и кандидат - студенти" с автори Стефан Копрински и Любен Топалов,1992 г.
След като отделих доста време за тази задача,реших да я предложа на колегите от форума.
От условието,че :[tex]a,b,c \in R[/tex] и
[tex]\begin{cases} a^{3 }+ b^{3 } + c^{3 } = 3abc \\ a + b + c \ne 0\end{cases} \rightarrow a \ne 0,b \ne 0 ,c \ne 0[/tex]
Трябва да се докаже,че квадратното уравнението с коефициенти $a,b,c$ : [tex]ax^{2 } + 2bx + c = 0[/tex] има двоен корен.
На пръв поглед - нищо особено!Трябва да се докаже,че [tex]D = 4b^{2 } - 4ac = 4( b^{2 } - ac) = 0 \Rightarrow b^{2 } - ac = 0[/tex]

[tex]a^{3 } + b^{3 } + c^{3 } = 3abc \Leftrightarrow ( a^{3 } - abc) + ( b^{3 } - abc) + ( c^{3 } - abc) = 0 \Leftrightarrow a( a^{2 }- bc) + b( b^{2 } - ac) + c( c^{2 } -ab) = 0[/tex]
Като знаем вече ,че [tex]a \ne 0 , b \ne 0 ,c \ne 0[/tex] остава,че [tex]( a^{2 } - bc) = 0 , ( b^{2 }- ac) = 0 , ( c^{2 } - bc) = 0[/tex]
или,че [tex]a ^{2 } + b^{2 } + c^{2 } - ac - bc - ab = 0[/tex]

Това решава проблема,но при условие,че $a = b= c$ ,каквото не е зададено.
Според мен или условието е непълно или е трябвало да бъде формулирано по следния начин:

Да се определи при какво условие уравнението [tex]ax^{2 } + 2bx + c = 0[/tex] , би имало двоен корен

Няма нужда $a = b= c$ да бъде зададено в условието. Това се явява следствие от последното, което си написал(а).

[tex]a ^{2 } + b^{2 } + c^{2 } - ac - bc - ab = 0 = \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}[/tex]

[S.B.]

Всъщност целият израз е :
[tex]a( a^{2 }- bc) + b(b^{2 } - ac) + c( c^{2 } - ab) = 0[/tex]