Параметрични уравнения

[ivlovech]

1. Да се намерят стойностите на a и b, при които корените на уравнението [tex]x^4 - 4x^3 + 6x^2 + ax + b = 0[/tex] образуват аритметична прогресия.
2. Да се намерят стойностите на параметъра m, така че корените [tex]x_{1 }, x_{2 }, x_{3 }[/tex] на уравнението [tex]x^3 - 14x^2 - 84x + m = 0[/tex] да образуват геометрична прогресия.

Благодаря предварително!

[Knowledge Greedy]

Нека първият корен е [tex]y[/tex], а разликата на прогресията е [tex]d[/tex]
Другите корени са [tex](y+d),(y+2d),(y+3d)[/tex] (респективно - членове на прогресията)
От формулите на Виет
[tex]y+(y+d)+(y+2d)+(y+3d)=4[/tex]
и
[tex]y(y+d)+y(y+2d)+y(y+3d)+(y+d)(y+2d)+(y+d)(y+3d)+(y+2d)(y+3d)=6[/tex]
получаваме системата
[tex]\left|\begin{matrix}
4y +3d =4 & \\
6y^2 +12dy +11d^2 =6 \\
\end{matrix}\right.[/tex]
Редуцираме до
[tex]\left|\begin{matrix}
4y +3d =4 & \\
36y +61d =0 \\
\end{matrix}\right.[/tex]
и решението, което ни интересува ([tex]d\ne 0)[/tex]
[tex]\left|\begin{matrix}
d =- \frac{2}{17} & \\
y = \frac{6}{17} \\
\end{matrix}\right.[/tex]
Следователно корените на уравнението са [tex]\frac{37}{34} , \frac{33}{34}, \frac{29}{34},\frac{25}{34}[/tex]

От произведението им откриваме [tex]b=\frac{25.29.33.37}{34^4} \approx 1,50960[/tex]
От сбора на произведенията им по три (отново формула на Виет) [tex]a=-\frac{25.29.33+25.29.37+25.33.37+29.33.37}{34^3} \approx -2,96876[/tex]

[Knowledge Greedy]

Както и в задачата с корени членове на аритметична прогресия
нека първият корен е [tex]y[/tex], а частното на прогресията е [tex]q[/tex]
Всички корени са [tex]y, qy, q^2y[/tex] (респективно - членове на прогресията).
С формулите на Виет построяваме система, чиито решения са
[tex]\left ( y,q \right )=\left ( 2; -3 \right )[/tex]
и
[tex]\left ( y,q \right )=\left ( 22; q=- \frac{1}{3} \right )[/tex]
И с последната формула на Виет -за произведението на корените [tex]m =- \left ( qy \right )^3=216[/tex] в единия случай,
и
[tex]m= - \left ( -\frac{22}{3} \right )^3=\frac{10648}{27} \approx 394,37037[/tex] - във втория случай.

[Гост]

Не смятате ли че задачите са супер странни с тези отговори накрая?