Параметрично уравнение

[nikola.topalov]

Здравейте на всички! Много ще се радвам, ако някой от вас отдели време да ми провери решението на една задача, която гласи следното: Да се намерят стойностите на реалния параметър $m$, за които уравнението $$(1-2m)\left|x^3\right|+x+m=0$$ има най-много един отрицателен корен. Бях качил една подобна, но тук имаме модул, който усложнява нещата (поне според мен). Та, ето го и решението ми:

Уравнението е еквивалентно на $$m=\dfrac{\left|x^{3}\right|+x}{2\left|x^{3}\right|+1}$$ Да разгледаме първи случай, в който [tex]x\geq 0[/tex] и съответно $$m=f(x)=\dfrac{x^{3}+x}{2x^{3}+1}$$ Първата производна $$f'(x)=\dfrac{-4x^3+3x^2+1}{(2x^3+1)}=\dfrac{(1-x)(4x^2+x+1)}{(2x^3+1)}$$ се анулира в точката [tex]x=1[/tex]. Оттук съобразяваме, че [tex]f(x)[/tex] е растяща в [tex](0,1)[/tex] и е намаляваща в [tex](1,+\infty)[/tex], откъдето и [tex]\max\limits_{x\geq 0} f(x)=f(1)=\dfrac{2}{3}[/tex]. Тъй като [tex]\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\dfrac{1}{2}[/tex] и [tex]f(0)=0[/tex], то значи за [tex]m\in\left[0,\dfrac{2}{3}\right][/tex] уравнението [tex]m=f(x)[/tex] ще има най-много два положителни корена, а това условие изпълнява искането оригиналното уравнение да има най-много един отрицателен корен. Във втори случай ще поискаме [tex]x[/tex] да приема отрицателни стойности. Нека си означим $$g(x)=\dfrac{x-x^{3}}{1-2x^{3}}$$ Ще докажем, че първата производна $$g'(x)=\dfrac{4x^3-3x^2+1}{(1-2x^3)^2}$$
се анулира в точката [tex]x_0<0[/tex], за която [tex]g(x_0)<0[/tex]. Образуваме функцията [tex]h(x)=4x^3-3x^2+1[/tex]. Понеже [tex]h'(x)=12x^2-6x[/tex], то лесно се показва, че [tex]h(x)[/tex] расте в [tex](-\infty,0)\cup\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)[/tex] и намалява в [tex]\left(0,\dfrac{1}{2}\right)[/tex]. Пресмятаме [tex]\lim\limits_{x\to -\infty}h(x)=\pm\infty[/tex] и [tex]h(0)=1[/tex]. Следователно според теоремата на Болцано [tex]\exists x_0\in(-\infty,0):h(x_0)=0[/tex]. И все пак нека отбележим, че [tex]g(x)[/tex] намалява в [tex](x_0,0)[/tex] и расте в [tex](-\infty,x_0)[/tex]. Отделно можем да скъсим интервала, на който принадлежи [tex]x_0[/tex], съобразявайки, че [tex]h\left(-\dfrac{1}{2}\right)<0[/tex], т.е. [tex]-\dfrac{1}{2}<x_0<0[/tex]. От този интервал получаваме неравенството [tex]\dfrac{4}{5}<\dfrac{1}{1-2x_0^3}<1[/tex], т.е. остана да покажем, че [tex]x_0-x_0^3=x_0(1-x_0^2)<0[/tex]. Но [tex]1>1-x_0^2>\dfrac{3}{4}[/tex] и [tex]-\dfrac{1}{2}<x_0<0[/tex], следователно наистина [tex]x_0-x_0^3<0[/tex] и съответно [tex]g(x_0)<0[/tex]. Тоест за [tex]m\in(g(x_0),0)[/tex] ще имаме два отрицателни корена, а за [tex]m\in\left[0,\dfrac{1}{2}\right)[/tex] [tex]-[/tex] точно един отрицателен корен. Окончателно [tex]m\in\left[0,\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\right][/tex].

[nikola.topalov]

Поправка: [tex]\lim\limits_{x\to -\infty}h(x)=-\infty[/tex]

[Гост]

komentar na pruv pogled: zashto si izkljuchil m=1/2, kato tochno togava x=1/2?

[Гост]

*x=-1/2

[Гост]

eto ti dokazatelstvo, che ne si smjatal pravilno
https://www.desmos.com/calculator/my8m8z481b

[Гост]

opitaj prosto praviloto na Descartes

[nikola.topalov]

Да, [tex]m=\dfrac{1}{2}[/tex] е решение . Значи [tex]m\in\left[0,\dfrac{2}{3}\right][/tex].

[Гост]

za [tex]m= \frac{2}{5} \in [0, \frac{2}{3}][/tex] korenite sa

[tex]x=-2[/tex] i [tex]x=1- \sqrt{2}[/tex], i dvata sa otricatelni