полиноми

[mimi123321]

Нека f(X) е полином с цели коефициенти,който приема стойност 1 за повече от 3 цели стойности на x.Докажете,че за всяко x имаме f(X) различно от минус 1

[pal702004]

Докажете,че за всяко x имаме f(X) различно от минус 1

Докажете, че за всяко $\boxed{x \in \mathbb{Z}},\;\;f(x) \ne -1$. Иначе не е трудно да се построи контапример (напр. полином от 5-та степен). Щом като приема стойност 1 в повече от 3 цели точки, значи

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\cdot g(x)+1$, където $a,x_i$ са цели числа и $g(x)$ е полином с цели коефициенти (може и от нулева степен-константа). За да приеме стойност -1 в цяла точка е необходимо да съществуват такива цели $ x,x_1,x_2,x_3,x_4$ че

$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\cdot g(x)=-2$

Майната им на $a$ и $g(x)$, Имаме произведение на поне 4 различни цели числа, което да е равно на $-2$

$-1,1,2$ е няма четвърто!

[grav]

Нека [tex]f(x)=x(x-1)(x-3)+1[/tex] тогава за [tex]x=0[/tex], [tex]x=1[/tex], и [tex]x=3[/tex] полиномът приема стойност 1. За [tex]x=2[/tex] имаме [tex]f(2)=2(1)(-1)+1=-1[/tex].

edit: Извинявам се, след горното решение забелязах, че не съм разбрал условието неправилно. Мислех, че е за три или повече цели числа.