Задачи от теория на числата

[Гост]

Привет!

Моля за съдействие за следните задачи, при които [tex]\alpha[/tex]=1, [tex]\beta[/tex]=9, [tex]\gamma[/tex]=9.

[ammornil]

(1)
[tex]f(x)=x^{4}+x^{3}+7x^{2}-2x-18, \hspace{3em} g(x)=x^{3}+6x^{2}+14x+45[/tex]

[tex]f(x)=x^{4}+x^{3}+9x^{2}-2x^{2}-2x-18=x^{2}(x^{2}+x+9)-2(x^{2}+x+9)=(x^{2}-2)(x^{2}+x+9)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^{2}+x+9)[/tex]

[tex]g(x)=x^{3}+x^{2}+9x+5x^{2}+5x+45=x(x^{2}+x+9)+5(x^{2}+x+9)=(x+5)(x^{2}+x+9)[/tex]

[tex]d(x)=x^{2}+x+9, D_{d(x)}=-35<0 \Rightarrow d(x) \ne 0, \>\forall \ x \in R[/tex]

[tex]f(x)=(x^{2}-2)d(x), \hspace{2em} g(x)=(x+5)d(x)[/tex]

[tex]u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x) \hspace{2em} |:d(x)\ne0 \Leftrightarrow \frac{u(x)(x^{2}-2)d(x)}{d(x)}+\frac{v(x)(x+5)d(x)}{d(x)}=1 \Leftrightarrow (x^{2}-2)u(x)+(x+5)v(x)=1[/tex]

Понеже дясната страна на равенството няма едночлени с неизвестно, следва че произведенията от дясно дават многочлени от една и съща степен.
Оттук следва, че [tex]u(x)=a,\hspace{1em} v(x)=bx+c, \begin{cases} a \in R \\ b \in R \\ c \in R \end{cases}[/tex]

[tex](x^{2}-2)a+(x+5)(bx+c)=1 \Rightarrow ax^{2}-2a+bx^{2}+cx+5bx+5c=1 \Leftrightarrow (a+b)x^{2}+(5b+c)x-2a+5c=1 \Rightarrow \begin{array}{|l} a+b=0 \\ 5b+c=0 \\ 5c-2a=1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a=-b \\ c=-5b \\ 5(-5b)-2(-b)=1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a=-b \\ c=-5b \\ -23b =1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a=\large{\frac{1}{23}} \\ \\ c=\large{\frac{5}{23}} \\ \\ b=\large{-\frac{1}{23} } \end{array}[/tex]

[tex]u(x)=\frac{1}{23}, \hspace{1em} v(x)=-\frac{1}{23}x+\frac{5}{23}=\frac{5-x}{23}[/tex]

п.с. Проверете сметките, в Латекс често правя аритметични грешки

[ammornil]

(2)
[tex]f(x)=x^{8}+9x^{7}-27x^{5}-6x^{4}+27x^{3}+8x^{2}-9x-3[/tex]

(1 вариант) Хорнер: кратност на [tex](x-1)[/tex] e 3

Screenshot 2023-01-24 223427.png (12.92 KiB) Прегледано 1516 пъти

(2 вариант) Деление на полиноми: [tex]f(x)[/tex] се дели на [tex]x-1[/tex] без остатък [tex]3[/tex] пъти.
[tex][/tex]

Screenshot 2023-01-24 223031.png (99.94 KiB) Прегледано 1516 пъти

[ammornil]

(3)
[tex]x^{4}+4x^{3}+9x^{2}+4x+\lambda=0[/tex]
Формули на Виет:
[tex]x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{4}{1}, \hspace{2em} x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=\frac{9}{1}, \hspace{2em} x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-\frac{4}{1}, \hspace{2em} x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=\frac{\lambda}{1}[/tex]
По условие:
[tex]x_{1}x_{2}=x_{3}x_{4}[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\Rightarrow (x_{1}x_{2})^{2}=(x_{3}x_{4})^{2}=\lambda[/tex]

И като сложим петте равенства в система можем да намерим решенията за [tex]\lambda[/tex]